Question

a) Determinati cifrele impare ,diferite a,b,c astfel incat nr ab+bc+ca sa fie patrat perfect
b)Demonstrati ca suma resturilor la impartirile 1,2,3 cu nr abc ,nu poate fi egala cu 23 

Answer 1

a) ab+bc+ac=10a+b+10b+c+10a+c=11a+11b+11c=11(a+b+c).
Pentru ca 11(a+b+c) sa fie patrat perfect, este necesar ca a+b+c=$11^{k}$ (k-numar natural impar). Dar a+b+c≤27 => a+b+c=11. (Cazul a+b+c=0 este imposibil de realizat)
Numerele a,b,c fiind impare => a=2m+1 ; b=2n+1 si c=2p+1. (Evident, m≠n≠p; m,n,p∈N)
2m+1+2n+1+2p+1=11 =>2(m+n+p)=8 => m+n+p=4. Se obtine solutiile (m,n,p)∈{(0,1,3);(0,3,1);(1,0,3);(1,3,0);(3,0,1);(3,1,0),de unde (a,b,c)∈{(1,3,7);(1,7,3);(3,1,7);(3,7,1);(7,1,3);(7,3,1). Deci numerele cautate sunt 137, 173, 317, 371, 713 si 731.

b) Restul impartirii unui numar natural la 3 este egal cu restul impartirii sumei cifrelor numarului la 3. Asadar, cum fiecare numar are suma cifrelor 11 => restul impartirii la 3 este 2. (6 resturi de 2)

Numerele fiind impare  => restul impartirii fiecaruia la 2 este 1. (6 resturi de 1)

Restul impartirii unui numar natural la 1 este 0. (6 resturi de 0).

S=6*2+6*1+6*0=18 ≠ 23.