Question

a) Determinati numarul natural x, astfel incat x+7 supra 3= x+4 supra 2
b) Determinati numarul natural x, astfel incat x supra 3= 4 supra x+1
c) Determinati numerele naturale a si b astfel incat a supra 5= 1 supra b+1
d) Determinati numarul natural n astfel incat 2 la putetea n+1 supra 9 = 8 supra 3 la puterea n
e) Determinati numarul natural n astfel incat 5 la puterea n supra 13 la puterea n = 7 la puterea n supra 11 la puterea n

Multumesc mult!

Answer 1

a)      x+7      x+4
         ----- = -------    (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor)
          3          2

2*(x+7)= 3*(x+4)
2x+14=3x+12
14-12=3x-2x
2=x => x=2

b)       x         4
        -----  = ------
         3         x+1
x(x+1) =12
x²+x=12
x²+x-12=0

Δ=b²-4ac
Δ=1² - 4*1* (-12)
Δ=1+48
Δ=49
   
       -b+√Δ      -1+7         6
x₁=------------ = --------- = ----- = 3
         2a               2           2

          -b-√Δ              -1-7             -8                    
x₂= --------------- = ------------- = ---------- = -4
              2a                   2                2                  
 
 x∈{3;-4}

c)   a               1                                                                                 
     ------- = --------
       5            b+1
 
 a(b+1)=5
1*5=5 => a= 1 si b+1=5 => b=4                 
5*1=5 => a=5 si  b+1=1 => b=0
(-1)*(-5)=5 => a=-1 si b+1=-5=> b=-6
(-5)*(-1)=5 => a=-5 si b+1=-1 => b=-2
a∈{-1;-5;1;5}
b∈{-6;-2;0;4}

d)          2ⁿ⁺¹         8                               
           -------- = --------
               9            3ⁿ
 
 2ⁿ⁺¹ * 3ⁿ = 72

2ⁿ⁺¹=2ⁿ *2¹

2ⁿ * 2¹ * 3ⁿ=72

6ⁿ * 2 =72

6ⁿ= 36 => n =2

e)         5ⁿ             7ⁿ                                 
           ------- = ----------
            13ⁿ           11ⁿ
 
 5ⁿ * 11ⁿ = 13ⁿ * 7ⁿ
 
  5ⁿ * 11ⁿ = (5*11)ⁿ=55ⁿ       

13ⁿ * 7ⁿ = (13*7)ⁿ =91ⁿ

55ⁿ=91ⁿ  => n=0