Question

a) Intervalele de monotonie ale functiei f:R/{-1} -> R , f(x) = x^2/(x+1).
b) Sa se demonstreze ca f(x) <\ 4 pentru oricare ar fi x < -1
Va rog sa ma ajutati!

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Vedem derivata functiei f.

$f'(x)=\frac{(x^2)'(x+1)-x^2(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$

Rezolvam ecuatia f'(x)=0 pentru a gasi eventualele puncte de extrem.

O fractie este 0, cand numaratorul este 0.

$x^2+2x=0\\x(x+2)=0\\x_1=0\\x+2=0=>x_2=-2$

Facem tabel de semn:

x |-inf__________-2__________-1___________0__________inf

f' |++++++++++++++0--------------------|----------------------0+++++++++++++

f |____cresc____f(-2)_descresc_|__descresc__f(0)___cresc____

Deci, f este crescatoare pe (-inf,-2)∪(0,inf) si descrescatoare pe (-2,0)\{-1}.

Pentru b) ne intereseaza portiunea din tabel pentru care x<-1.

f(-2)=-4

Observam ca (-2,-4) este punct de maxim si atunci avem:

f(x)<f(-2)

f(x)<-4