Question

a) Sa se arate ca daca n/12 atunci n+2/840
b)Sa se determine numerele naturale prime de forma abc stiind ca a*b*c=252
c)Aratati ca N=1+3+3 la puterea 2+3 la puterea 3+...+3 la puterea 1999 este diviibil cu 4,10,11 si 121

Answer 1

a) Sa se arate ca daca n|12
=>n este divizol al lui 12 => n*m=12
n=12/m
n+2=12/m+2
840:(n+2)=840:(12/m+2)= 70m+420 =>  n+2| 840

b) a*b*c=252
descompunem pe 252=2*2*3*3*7
=> 252=4*9*7
sau 252=6*6*7
deci abc ∈ {479,497,749,794,947,974,667,676,766}

c)N=1+3+3²+3³+...+3¹⁹⁹⁹
N=(1+3)+3²(1+3)+3⁴(1+3)+...3¹⁹⁹⁸(1+3)= 4*(1+3²+3⁴+...+3¹⁹⁹⁸)
N=4*[(1+3²)+3⁴(1+3²)+...+3¹⁹⁹⁶(1+3²)] =4*10*(1+3⁴+3⁸+...+3¹⁹⁹⁶)

N=(1+3+3²+3³+3⁴)+3⁵(1+3+3²+3³+3⁴)+3¹⁰(1+3+3²+3³+3⁴)+...+3¹⁹⁹⁵(1+3+3²+3³+3⁴)
N=121(1+3⁵+3¹⁰+...+3¹⁹⁹⁵)=11*11*(1+3⁵+3¹⁰+...+3¹⁹⁹⁵)

=> N este divizibil cu 4,10,11 si 121