Question

A8. Dacă a, b, c = (0, +∞), să se arate că e
$\frac{3abc}{ab + bc + ca} \leqslant \sqrt[3]{abc} \leqslant \frac{a + b + c}{3}$
​Va rog frumos!! Multimesc anticipat!

Answer 1

Răspuns:

Are loc egalitatea:

$x^3+y^3+z^3-3xyz=\dfrac{1}{2}(x+y+z)[(y-z)^2+(z-x)^2+x-y)^2]\ge 0$

Pentru

$x=\sqrt[3]{a}, \ y=\sqrt[3]{b}, \ z=\sqrt[3]{c}$

rezultă

$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$

Prima inegalitate se poate aduce la forma

$ab+ac+bc\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

care se obține aplicând cealaltă inegalitate pentru numerele $ab, \ ac, \ bc$.

Explicație pas cu pas: