Question

ABCD este un romb cu AC=18√2 cm si BD=24√2 cm.
a)Afla perimetrul patrulaterului ABCD.
b)Calculeaza distanta de la punctul O,centrul de simetrie al rombului,la latura BC.
c)Fie D,E,F,G proiectiile punctului O pe laturile AB,BC,CD si respectiv AD.Stabileste natura patrulaterului DEFG.
REZOLVARE COMPLETA!!!

Answer 1

a)
Notam cu: E proiectia lui O pe BC (nu cu D cum se sugereaza la punctul c pentru ca D este deja folosit), F proiectia pe CD, G pe AD si H pe AB.
In ΔAOB:
AB^2 = ( BD/2)^2 + (AC/2)^2 = (9√2)^2 + (12√2)^2 = 81*2 + 144*2 = 450
AB = 15√2
P = 4*AB = 60√2

b)
In ΔBOC:
OE^2 = BE * EC
In ΔBOE:
OE^2 = OC^2 - EC^2
In ΔEOC
OE^2 = OB^2 - BE^2

Din ultimele doua relatii rezulta ca:
OC^2 - EC^2 = OB^2 - BE^2
(AC/2)^2 - EC^2 = (BD/2)^2 - BE^2
(9√2)^2 - EC^2 = (12√2)^2 - BE^2
 BE^2 - EC^2 = 144*2 - 81*2 = 288 - 162 =  126
(BE + EC)(BE - EC) = 126
BC * (BE - EC) = 126
15√2 * (BE - EC) = 126
BE - EC = 42/(5√2)
BE = EC + 42/(5√2)
si
BC = BE + EC = 15√2
EC = 15√2 - BE
deci
BE = 15√2 - BE + 42/(5√2)
2*BE = 15√2 + 42/(5√2)
2* (5√2) * BE = 15√2 * 5√2 + 42
10√2 * BE = 192
BE = 192 / (10√2) = 48√2 / 5
EC = BC - BE = 15√2 - 48√2 / 5 = (75√2 - 48√2) / 5 = 27√2 / 5
OE^2 = (48√2 / 5)*(27√2 /5) = (48 * 27 * 2)/25 = (4^2 * 3^4 * 2) / 5^2
OE = (4 * 9 * √2) / 5

OE = 36√2 / 5

c)
Vrem sa demonstram ca ΔCEF ~ ΔCBD:
- un unghi comun (BCD)
CE / CB = CF / CD pt ca BC = CD (laturi ale rombului) si CE = CF (din congruenta ΔOCE≡ΔOCF, Δ dreptunghice cu o latura comuna si OE = OF, ca inaltimi in ΔBOC≡ΔCOD)
DEci EF ║ BD
La fel pentru HG ║ BD
si:
HE ║ AC
GF ║ AC

Deci HE ║ GF
         EF ║ HG
si HE ⊥ EF

Deci HEFG este un dreptunghi