Question

ABCD partrulater convex. M, N mijoacele laturilor [AC] si [DB]. Arata ca MN = 1/2 ( AB+BC) (exprimati in vectori) . DAU 100 PUNCTE

Answer 1

Construim paralelele prin D si B la AB respectiv AD.

Fie T punctul de intersectie al celor doua paralele.

Constatam ca patrulaterul DTBA este un paralelogram, pentru ca

BT║AD, iar AB║TD, de unde ne rezulta concluzia.

Observam ca BD este diagonala in paralelogram, la fel si

AT, iar ele se intersecteaza in punctul N ⇒

AN=NT=1/2AT (1).

Problema ne spune ca M este mijlocul lui AC ⇒

AM=MC=1/2AC (2).

Din (1) si (2) ⇒ MN este linie mijlocie in triunghiul ACT ⇒ MN=1/2TC.

Sa calculam acum suma vectorilor AB si CD.

AB+CD=TD+DC=TC=2MN ⇒ 2MN=AB+CD ⇒ MN=1/2(AB+CD).