Question

Acest exercițiu.Vă mulțumesc anticipat !​

Answer 1

Răspuns:

70)

O soluție este $x=y=z=0$. Căutăm și alte soluții.

Trecând la module și adunând egalitățile obținem

$|x|^2+|y|^2+|z|^2=|x|\cdot |y|+|y|\cdot |z|+|z|\cdot |x|\Rightarrow |x|=|y|=|z|=r > 0$

Atunci sistemul devine

$\begin{cases}xr=z^2\\yr=x^2\\zr=y^2\end{cases}$

de unde

$x=\displaystyle\frac{z^2}{r}, \ y=\frac{x^2}{r}=\frac{z^4}{r^3}\Rightarrow z=\frac{y^2}{r}=\frac{z^8}{r^7}\Rightarrow z^7=r^7\Rightarrow z=r\epsilon$

unde $\epsilon$ este o rădăcină de ordinul 7 a unității, deci

$x=r\epsilon^2, \ y=r\epsilon^4, r\in(0,\infty)$

Deci soluțiile sunt

$(x,y,z)=(r\epsilon^2,r\epsilon^4, r\epsilon)$ și permutările acesteia.

71)

Fie $z=r(\cos t+i\sin t)\in\mathbb{C}-\mathbb{R}$ o rădăcină a ecuației.

Deci $r\ne 0, \ \sin t\ne 0$

Înlocuind în ecuație rezultă

$r^n(\cos nt+i\sin nt)+nr(\cos t+\sin t)+a=0\Rightarrow r^n\sin nt+nr\sin nt=0\Rightarrow\\\Rightarrow r^n\sin nt=-nr\sin t\Rightarrow r^n|\sin nt|=nr|\sin t|$

Prin inducție se arată că $|\sin nt| < n|\sin t|$

Atunci

$nr|\sin t| < nr^n|\sin t|\Rightarrow r > 1\Rightarrow |z| > 1$

Explicație pas cu pas: