Question

Admitere UPT AL 189,matrice

Answer 1

Salut,

Pentru rangul matricilor A și B, avem în general proprietatea:

Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal decât rangul fiecărei matrice:

rang(A·B) ≤ min(rangA, rangB) (1)

Din enunț avem că:

4(AB)³ + 3(AB)² + 2(AB) = --Im ⇔

⇔ AB·[4(AB)² + 3(AB) + 2] = --Im (2).

Știm că determinantul produsului de matrice este produsul determinanților acelor matrice. Aplicăm asta la relația (2) de mai sus:

det(AB)·det[AB·[4(AB)² + 3(AB) + 2]] = det(--Im), dar det(--Im) = ±1, deci:

det(AB)·det[AB·[4(AB)² + 3(AB) + 2]] = ±1 ⇒ det(AB) ≠ 0.

A ∈ Mm,n(R) și B ∈ Mn,m(R) => matricea produs AB ∈ Mm,m(R) ⇒

⇒ rang(AB) = m ≥ n (este mai mare decât n conform ipotezei) (3).

AB ∈ Mm,m(R) deci matricea AB este una pătratică.

Reluăm proprietatea (1) și avem că:

rang(A·B) ≤ min(rangA, rangB) ⇒ m ≤ n (4), pentru că rangul minim al matricelor A și B este n.

Din (3) și (4) avem așa: m ≥ n și m ≤ n, deci m = n.

Răspunsul corect este deci d.

Baftă la admitere !

Green eyes.