Question

Aflați cel mai mic număr natural nemulțumit n pentru care 3n este cub perfect , iar 5n este puterea a cincea a unui număr natural

Answer 1

In toate calculele urmatoare, n, k,r,p, s, x, y, sunt numere natuerale nenule


3n=k³⇒n=k³/3⇒3|k⇒k=3r⇒n=(3r)³/3=9r³
5n=p^5⇒n=(p^5)/5⇒5|p⇒p=5s⇒n=(5s)^5/5=625s^5




n=9r³=625s^5

n=3² * r³=5^4 *s^5
Cum (3,5)=1 este necesar ca

3|s si 5|r
adica s=3x si r=5y
n=9*(5y)³=625*(3x)^5
n=3² * 5³ *y³=5^4 *3^5 *x^5
suimplificand cu 3² * 5³, avem
y³=5* 3³*x^5= 3³ * x^5 *x
pt a avea un cub perfect, x min=5
y³=3³ * 5^6= (3*5² )³
y=3* 5²=3*25=75

s=3x=3*5=15
 r=5y=5*75=375
n=9r³=9*375³=9* ( * 5³ *3)³=3² * 5^9 * 3^3=         3^5 * 5^9
n=625s^5=625*15^5=5^4 * (3*5)^5=5^4*3^5 *5^5=3^5*5^9
Observam ca avem acelasi n, calculul este corect

 deci n minim=3^5 * 5^9=474 609  375  , cerinta

verificare
3n=3*3^5 * 5^9=3^6*5^9=(3² * 5³)³, putere a treia a unui nr natural
5n=5*3^5 * 5^9=3^5 *5^10=  (3*5²)^5, putere a 5 a unui nr natural