Question

Aflați cifrele a, b, c, d pentru care numărul abba + cc + dd este cubul unui număr natural.
DAU COROANĂ!​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

abba + cc + dd = 1000a + 100b + 10b + a + 10c + c + 10d + d =

                         = 1001a + 110b + 11c + 11d =

                         = 11 · (91a + 10b + c + d)

abba + cc + dd poate fi cubul lui 11 ⇒ 91a + 10b + c + d = 11²

⇔  91a + 10b + c + d = 121

obligatoriu a = 1; dacă a ≥ 2 suma din membrul stâng ar fi mai mare decât 121

vom avea: 91 + 10b + c + d = 121 ⇔ 10b + c + d = 30

dacă b = 3 ⇒ c = d = 0

dacă b = 2 ⇒ c + d = 10 ⇒ c ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} și d ∈ {9,8,7,6,5,4,3,2,1},

                                adică c = 1, d = 9; c = 2, d = 8; ....; c = 9; d = 1

dacă b = 1 ⇒ c + d = 20, imposibil deoarece c și d sunt cifre