Question

Aflati cifrele a si b stiind ca ab+ba respectiv ab-ba sunt patrate perfecte. Rezolvare completa !!!

Answer 1

ab+ba patrat perfect => 10a+b+10b+b=11a+11b=11(a+b)
ca sa fie patrat perfect a+b=11 (1)
ab-ba=10a+b- 10b-a=9a-9b=9(a-b)
ca sa fie patrat perfect a-b=9  (2)
Din  (1) si (2) rezulta ca a+b+a-b= 11+9
2a=20
a=10 =>b=1

Answer 2

..

$\it \overline{ab} +\overline {ba} = 10a+b+10b+a= 11a+11b = 11(a+b)$

11(a + b) = pătrat perfect ⇒  a + b = 11   (1) 

$\it \overline{ab} -\overline {ba} = 10a+b-10b-a= 9a-9b = 9(a-b)$

9(a - b) = pătrat perfect ⇒  a - b ∈ {1,  4,  9}    (2)   

I)  a + b = 11
   
    a - b  =   1
____________
  2a    |   = 12

2a = 12 ⇒ a = 6

(1) ⇒ b = 5

Deci,  avem 65 - 56 = 9 = 3²

Pentru celelalte valori ale diferenței a - b, nu se obțin soluții în mulțimea cifrelor.

..