Question

Aflati ecuatiile asimptotelor graficului functiei : f:R\{0}->R f(x)= $e^x/ (e^x-1)$

Answer 1

1) Asimptote orizontale
y=a1 asimptota orizontala
a1=lim x->inf f(x)=lim x->inf e^x/(e^x-1)= cazul inf/inf si aplicam l'hospital=lim x->inf e^x/e^x=lim x->inf 1=1
y=1 asimptota orizontala la +inf

y=a2 asimptota orizontala
a2=lim x->-inf f(x)=lim x->-inf e^x/(e^x-1)=0/0-1=0/-1=0
y=0 asimptota orizontala la -inf

Se observa ca dreapta y=1 este asimptota orizontala catre +inf si dreapta y=0 este asimptota orizontala la -inf.

2) Asimptote oblice
Odata ce am gasit asimptota orizontala, nu exista asimptota oblica.

3) Asimptota verticala
x=b1 asimptota verticala
b1=lim x->0 si x>0 din f(x)=lim x->0 si x>0 din e^x/(e^x-1)=e^0/(e^0-1)=1/0=inf
x=0 asimptota vert la dreapta

x=b2 asimptota verticala
b2=lim x->0 si x<0 din f(x)=lim x->0 si x<0 din e^x/(e^x-1)=e^0/(e^0-1)=1/0=-inf
x=0 asimptota vert la stanga

Se observa ca dreapta x=0 este asimptota verticala si la stanga si la dreapta lui 0.

Answer 2

la +∞ limita f(x) =1 deci y=1, asimptota orizontala
la -∞ limitaf(x) =0/(-1)=0 deci y=0 , asimptota orizontala

lim cand x->0, x>0=1/+0=+∞
lim candx->0, x<0=1/(-0)=-∞
deci x=0, asimptota verticala