Question

Aflati nr .prime a,b,c dacă 3a+5b+7c=74

Answer 1

Numerele prime sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Cautam valoarea maxima pe care o poate lua numarul prim necunoscut cu coeficientul cel mai mare, adica c, ca sa micsoram "plaja" de valori pe care le vom analiza, asigurandu-ne, astfel, ca nu pierdem vreo solutie:
Deci:
7c<74
c<=10 si c =numar prim, deci c poate lua una din valorile: {2, 3, 5, 7}
Analizam, pe rand:

1) Daca c=7:
3a+5b+49=74
3a+5b=25
Oservam ca a si b nu pot avea aceeasi paritate (pentru ca ar da rezultatul par=25, ceea ce nu se poate), deci va trebui sa fie unul par si celalalt impar. Cautam, de asemenea, valoarea maxima pe care o pate lua y (pentru ca are coeficientul cel mai mare):
5b<25
b<5 si b prim, deci b=2 sau b=3. Dam valori, pe rand, lui b:
1.1) Daca b=3:
3a+5*3=25
3a=10 nu are solutie in nr naturale.
1.2) Daca b=2:
3a+5*2=25
3a=15
a=5

2) Daca c=5:
3a+5b+7*5=74
3a+5b=39
5b<39
b<=7, deci b poate lua una dintre valorile: {2, 3, 5, 7}
2.1) Daca b=7:
3a+35=39
3a=4 nu are solutie in nr naturale.
2.2) Daca b=5:
3a+25=39
3a=14 nu are solutie in nr naturale.
2.3) Daca b=3:
3a+15=39
3a=24
a=8 nu este numar prim, deci nu convine.
2.4) Daca b=2:
3a+10=39
3a=29 nu are solutie in nr naturale.

3) Daca c=3:
3a+5b+7*3=74
3a+5b=53
5b<53
b<=10, b prim, deci b poate lua una dintre valorile: {2, 3, 5, 7}
3.1) Daca b=7:
3a+35=53
3a=18
a=6 nu este nr prim.
3.2) Daca b=5:
3a+25=53
3a=28 nu are solutie in nr naturale.
3.3) Daca b=3:
3a+15=53
3a=38 nu are solutie in nr naturale.
3.4) Daca b=2:
3a+10=53
3a=43 nu are solutie in nr naturale.

4) Daca c=2:
3a+5b+7*2=74
3a+5b=60
5b<60
b<=11, deci b poate lua una dintre valorile: {2, 3, 5, 7, 11}
4.1) Daca b=11:
3a+55=60
3a=5 nu are solutie in nr naturale.
2.1) Daca b=7:
3a+35=60
3a=25 nu are solutie in nr naturale.
2.2) Daca b=5:
3a+25=60
3a=35 nu are solutie in nr naturale.
2.3) Daca b=3:
3a+15=60
3a=45
a=15 nu este numar prim, deci nu convine.
2.4) Daca b=2:
3a+10=60
3a=50 nu are solutie in nr naturale.

Deci singura solutie este: a=5, b=2, c=7.