Question

Aflati perechile de numere care satisfac conditiile
a.au produs 2400si c.m.m.d.c al lor estev 10
b.au produsul 1215si c.m.m.d.c. al lor este 9
c.au produsul 2700si c.m.m.d.c. al lor este 15

Answer 1

Fie n si m numerele cautate.
a) Daca (n,m)=10 si n*m=2400, stiind formula:
n*m=(n,m)*[n,m], avem:
2400=10*[n,m]
Din (n,m)=10 rezulta ca exista nr nat k si p astfel incat:
n=10*k
m=10*p
si (k,p)=1, adica p si k sunt prime intre ele (nu au alt divizor comun diferit de 1).
Deci [n,m]=10*k*p si inlocuind in formula de mai sus:
2400=10*10*k*p, unde (k,p)=1
De unde, impartind ambii membri la 100 obtinem:
k*p=24, cu (k,p)=1
Singurele variante convenabile sunt:
1) k=1  si p=24 (sau invers), pt ca (1,24)=1
2) k=3 si p=8 (sau invers) pt ca (3,8)=1
Varianta k=4 si p=6 nu convine deoarece (4,6)=2, adica 4 si 6 nu sunt prime intre ele.
Din varianta (1) obtinem n=10 si m=240, iar din varianta (2) obtinem n=30 si m=80 care verifica datele problemei.
Deci solutia este: perechile de nr n si m sunt (10 si 240), respectiv (30 si 80).
b) Dupa un rationament asemanator ca la punctul a) avem:
n=9*k
m=9*p si (k,p)=1

1215=9*9*k*p, unde (k,p)=1
15=k*p, cu (k,p)=1
de unde:
1) k=1 si p=15
sau
2) k=3 si p=5
Deci solutiile sunt perechile de numere n si m: 9 si 135, respectiv 27 si 45.

c) Dupa un rationament asemanator ca la punctul a) avem:
n=15*k
m=15*p si (k,p)=1

2700=15*15*k*p, unde (k,p)=1
12=k*p, cu (k,p)=1
de unde:
1) k=1 si p=12
sau
2) k=3 si p=4
Varianta k=2 si p=6 nu convine deoarece (2,6)=2, adica 2 si 6 nu sunt prime intre ele.
Deci solutiile sunt perechile de numere n si m: 15 si 180, respectiv 45 si 60.