Question

Aflati toate nr nat mai mici d cat 2000 care impartite la 24,30,18 dau de fiecare data restul 7

Answer 1

x:24=c1 r7 => x=24c1+7 => x-7=24c1
x:30=c2 r7 => x=30c2+7 => x-7=30c2
x:18=c3 r7 => x=18c3+7 => x-7=18c3

x-7 = [24,30,18]

24=2³•3
30=2•3•5
18=2•3²
[24,30,18]=2³•3²•5=8•9•5=40•9=360

x-7=360
x=367

Answer 2

Notăm numerele cerute cu n.

n : 24 = a rest 7 ⇒ n = 24a +7 ⇒ n - 7 = 24a      

n : 30 = b rest 7 ⇒ n = 30b +7 ⇒ n - 7 = 30b      

n : 18 = c rest 7 ⇒ n = 18c +7 ⇒ n - 7 = 18c      

Din cele trei relații, rezultă că n-7 aparține mulțimii multiplilor comuni

ai numerelor 24, 30 și 18.

Vom determina cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

24= 2³·3
30=2·3·5
18=2·3²
_____________
[24,  30,  18] =2³·3²·5 =8·9·5 =40·9 = 360

n - 7 = 360 

Dar, din enunțul problemei, trebuie să determinăm toate numerele n

mai mici decât 2000. Așadar, vom avea:

n -7 = 360k < 2 000, unde k  ∈  ℕ* .

Acum, vom calcula:

n -7 =360· 1 = 360 ⇒ n = 367 

n -7= 360·2 = 720 ⇒  n = 727

n -7= 360·3 = 1080 ⇒  n = 1087

n -7= 360·4 = 1440 ⇒  n = 1447

n -7= 360·5 = 1800 ⇒  n = 1807

n -7= 360·6 = 2160 ⇒  n = 2167 > 2000 (nu convine).

Prin urmare, numerele cerute sunt :

n ∈ {367,  727,  1087,  1447,  1807}.