Question

aflati ultima cifra a expresiei 1¹⁹⁹⁰ + 2¹⁹⁹⁰+3¹⁹⁹⁰+4¹⁹⁹⁰+5¹⁹⁹⁰+6¹⁹⁹⁰​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

1 la orice putere = 1

5 la orice putere se termina in 5

6 la orice putere se termina in 6

__________

U(2^1) = 2

U(2^2) = 4

U(2^3) = 8

U(2^4) = 6

U(2^5) = 2

ultima cifra se repeta din 4 in 4

1990 : 4 = 497 rest 2

U(2^1990) = 4

__________

U(3^1) = 3

U(3^2) = 9

U(3^3) = 7

U(3^4) = 1

U(3^5) = 3

ultima cifra se repeta din 4 in 4

1990 : 4 = 497 rest 2

U(3^1990) = 9

__________

U(4^1) = 4

U(4^2) = 6

U(4^3) = 4

4 la putere para se termina in 6

__________

Ultima cifra a expresiei = U(1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6) = U(31) = 1

Answer 2

Răspuns:

1

Explicație pas cu pas:

▪︎ Ultima cifră a unei sume de numere naturale este egală cu ultima cifră a sumei ultimelor cifre ale termenilor sumei.

▪︎ Numerele naturale care au ultima cifră 0, 1, 5 sau 6 ridicate la orice putere n, n ∈ N*, au ultima cifră tot 0, 1, 5 respectiv 6

▪︎ Ultimele cifre ale puterilor lui 4 și 9 se repetă din doi în doi, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 2

▪︎ Ultimele cifre ale puterilor lui 2, 3, 7 si 8 se repetă din patru în patru, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 4

1990 = 2×995

1990 = 4×497 + 2

$U( {1}^{1990} + {2}^{1990} + {3}^{1990} + {4}^{1990} + {5}^{1990} + {5}^{1990}) =$

$= U(U({1}^{1990}) + U({2}^{1990}) + U({3}^{1990}) + U({4}^{1990}) + U({5}^{1990}) + U({6}^{1990}))$

$= U(U(1) + U({2}^{4 \cdot 497 + 2}) + U({3}^{4 \cdot 497 + 2}) + U({4}^{2 \cdot 995}) + U(5) + U(6))$

$= U(1 + U({2}^{2}) + U({3}^{2}) + U({4}^{2}) + 5 + 6)$

$= U(1 + U(4) + U(9) + U(16) + 5 + 6)$

$= U(1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6)$

$= U(31) = \bf 1$