Question

problema 2 va rog mult.cu rezolvare completă

Answer 1

problema se rezolva foarte simplu dupa ce se observa un lucru esential:in triunghiurile ACV si DBV avem pe VO mediana (diagonalele patratului de baza se injumatatesc in punctul O) si totodata pe mediana VO avem punctul G ce respecta faptul ca se afla la 2/3 de varful V si 1/3 de bazele DB si respectiv AC
Concluzia: pentru cele doua triunghiuri G este centrul de greutate, deci locul in care se intersecteaza medianele. In acest caz unind G cu oricare varf va rezulta o mediana
In final am obtinut faptul ca BN este mediana in VDB si deci N mijlocul lui VD

analog cu demonstratia de mai sus, M este mijlocul lui VC
rezulta MN linie mijlocie in VCD (uneste mijloacele a doua laturi) si deci MN II CD care este paralela cu AB
la fel NO linie mijlocie in triunghiul VBD deci NO II VB
analog MO II VA
Rezulta ca planul MNO este paralel cu planul VAB, deoarece cele trei drepte determinate de M,N,O sunt paralele cu drepte din palnul VAB

pentru a trasa unghiul dintre MN si AC (care sunt 2 drepte necoplanare), trebuie dusa o paralela a lui MN in planul ABCD, iar unghiul cerut va fi unghiul dintre paralela si AC
La noi e foarte simplu, deoarece am aratat ca MN paralela cu CD, deci unghiul cerut este ACD
m(ACD)=45 grade (deoarece baza este un patrat, iar diagonalele fac unghiuri de 45 grade cu laturile!

Answer 2

a)
teorie: medianele intr-un triunghi se intersecteaza la 2/3 de la varf si la 1/3 de la baza
in triunghiul isoscel   VBD, VO este inaltime si mediana
VG=2GO ⇒ G este centru de greutate, G este intersectia medianelor in VBD
BN este mediana ⇒ DN=VN (1)
analog pentru triunghiul VAC ⇒ AM este mediana ⇒ CM=VM (2)
b)
din relatle (1) si (2) rezulta MN este linie mijlocie ⇒ MN║DC║AB (3)
NO este linie mijlocie in VBD ⇒ NO║VB (4)
din (3) si (4) rezulta:
MN║AB, MN∈(MON) si AB∈(AVB)
NO║VB, NO∈(MON) si VB∈(AVB)
din ultimele 2 relatii rezulta (MON)║(ABV) (vezi conditia ca 2 plane sa fie paralele)
c)
MN║DC ⇒ m∡(AC;MN)=m∡(AC;DC)=m∡ACD
AC diagonala in patrat ⇒ m∡ACD=45°