Question

Aflați ultima cifră a numărului a daca: a=2^716 +29^31​

Answer 1

Răspuns:

a = 2⁷¹⁶ + 29³¹

puterile lui 2 se repeta din 4 in 4 avand valorile ultimei cifre 2 ; 4 ; 8 si 6

U(2⁷¹⁶) = U(2⁴ˣ¹⁷⁸⁺⁴) = U(2⁴) = 6

puterile lui 9 se repeta din 2 in 2 avand valoarea ultimei cifre 9 pentru puterile impare si valoarea 1 pentru cele pare

U(29³¹) = U(9³¹) = 9

U(a) = U(6 + 9) = U(15) = 5

Answer 2

Răspuns:

5

Explicație pas cu pas:

Pentru a putea vedea care este ultima cifra a unei puteri, trebuie sa vedem cum se comporta numarul ridicat la putere si sa gasim secventele repetitive, precum si frecventa acestora.

u(2¹)=2

u(2²)=u(4)=4

u(2³)=u(8)=8

u(2⁴)=u(16)=6

u(2⁵)=u(32)=2

u(2⁶)=u(64)=4

-------------------  Observam ca secventa este 2; 4; 8; 6 iar frecventa este 4. In alte cuvinte, aceste numere se repeta din 4 in 4. Este indeajuns sa aflam restul puterii (716) la 4 pentru pentru a afla ultima cifra.

716:4=179 rest 0 Daca restul este 0, atunci va fi exact ultima pozitie din serie, respectiva ultima cifra a lui 2⁴.

u(2⁷¹⁶)=u(2⁴)=u(16)=6

Atunci cand avem un numar de 2 sau mai multe cifre, este indeajuns sa vedem comportamentul ultimei cifre pentru a putea decide ultima cifra a intregului numar. => Putem analiza decat puterile lui 9.

u(9¹)=u(9)=9

u(9²)=u(81)=1

u(9³)=u(729)=9

u(9⁴)=u(6561)=1

------------------------------- Vedem ca secventa este 9; 1 iar frecventa este de 2. Este indeajuns sa impartim puterea la 2 pentru a afla restul, respectiv care este pozitia ultimei cifre in secventa.

31:2=15 rest 1 => ultima cifra ocupa prima pozitie in serie =>

u(29³¹)=u(9¹)=9

u(a)=u[u(2⁷¹⁶)+u(29³¹)]=u(6+9)=u(15)=5