Question

aflati valoarea parametrului m ∈ R pentru care solutiile x1 si x2 ale ecuatiei $x^{2} -2mx+m^{2} -m+1=0$ satisfac relatiile x1 mai mic ca 1 si x2 mai mare ca 2

Answer 1

Răspuns:

m∈((5-√5)/2; 2).

Explicație pas cu pas:

Δ=(-2m)²-4(m²-m+1)=4(m-1). Deoarece solutii exista, ⇒m-1>0, deci m>1.

x1=(2m-2√(m-1))/2=m-√(m-1). Din conditia x1<1, ⇒m-√(m-1)<1, ⇒√(m-1)>m-1.

Deoarece m-1>0, ⇒√(m-1)>(√(m-1))² | :√(m-1), ⇒1>√(m-1) |^2, ⇒1>m-1, deci m<2.  Deci x1<1 pentru m∈(1;2).

x2=m+√(m-1). din x2>2, ⇒m+√(m-1)>2, ⇒√(m-1)>2-m.

Pentru 2-m<0, adica m>2, pierdem conditia lui x1<1, deci M nu poate fi >2.

Pentru 2-m>0, adica m<2, ridicam la patrat √(m-1)>2-m, ⇒m-1>4-4m+m², ⇒

m²-5m+5<0. Δ=25-20=5>0

m1=(5-√5)/2 si m2=(5+√5)/2. deci m∈((5-√5)/2; (5+√5)/2).

m2∉(1;2). Sa verificam daca m1∈(1;2).

(5-√5)/2>1, ⇒5-√5>2, 3>√5, adevarat.

(5-√5)/2<2, ⇒5-√5<4, 1<√5 adevarat, deci m1∈(1; 2)

Deci m∈(1; 2)∪((5-√5)/2; (5+√5)/2)=((5-√5)/2; 2)