Question

Aflati x si y intregi pentru care :$2^{x^{2}-2y }+ 2^{y^{2}-2x }=1.$ Va rog de clasa a VII-a. Multumesc.

Answer 1

Consideram numarul $2^{n}$. (n∈Z)
-daca n≥0 => $2^{n}$≥1.

De aici rezulta ca $x^{2} -2y$ si $y^{2} -2x$ nu pot fi naturale.

-daca n<0, atunci $2^{n}$∈{$\frac{1}{2} ; \frac{1}{4} ; \frac{1}{8}...$}

Din aceasta observatie se va constata ca $2^{ x^{2} -2y} = 2^{ y^{2} -2x} = \frac{1}{2}$. (Este firesc ca niciunul dintre ei nu poate fi mai mic decat $\frac{1}{2}$, caci in acest caz celalalt termen ar fi mai mare decat $\frac{1}{2}$-ceea ce este imposibil).

Asadar, rezulta: $x^{2} -2y= y^{2} -2x=-1$
$x^{2} -2y= y^{2} -2x <=> \\ <=> x^{2} - y^{2}=-2x+2y <=> \\ <=>(x+y)(x-y)=-2(x-y).$.
De aici reies 2 cazuri:
I. x=y 
II. x+y=-2

Pentru primul caz notam a=x=y.
$x^{2} -2y=-1 <=> a^{2}-2a=-1<=> a^{2} -2a+1=0 <=> (a-1)^{2}$$=0 => a-1=0 => a=1$.
Deci x=y=1.

Din al doilea caz rezulta x=-2-y.
$y^{2}-2x=-1 <=> y^{2} -2(-2-y)=-1 <=> y^{2}+4+2y=-1$$<=> (y+1)^{2}+3=-1$ <=> $( y+1)^{2} =-4$(Imposibil).
Deci acest caz nu admite solutii.

SOLUTIE: x=y=1.

Answer 2

p1) -----

$2^{x^{2}-2y }+ 2^{y^{2}-2x }=1 \\ \text{Daca adunam 2 puteri ale lui 2 si obtinem 1, avem 2 variante: } \\ V_1 \\ 2^{0} + 2^{-\infty} = 1 + 0 = 1 \\ V_2 \\ 2^{-1} + 2^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1 \\ \text{Prima varianta nu poate fi o solutie} \\ \text{Ne ocupam de varianta a 2-a} \\ x^{2} -2y=-1 \\ y^{2}-2x=-1 \\ \text{Rezolvam prin substitutie, pe care o obtinem din prima ecuatie:} \\ x^{2} +1 = 2y \;\;=> \;substitutia\;\;\; y= \frac{x^{2} +1}{2}$

p2) -----

$\text{il inlocuim pe y in ecuatia a 2-a} \\ y^{2}-2x=-1 \\ (\frac{x^{2} +1}{2})^{2}-2x=-1 \\ \\ \frac{(x^{2} +1)^{2}}{4}=2x-1 \\ \\ (x^{2} +1)^{2}=4(2x-1) \\ x^{4}+2 x^{2} +1=8x-4 \\ x^{4}+2 x^{2} +1-8x+4=0 \\x^{4}+2 x^{2} -8x+5=0 \\ \text{Expresia }\;\; (x^{4}+2 x^{2} -8x+5) \\ se\;descompune\;in\;\;\;(x-1)(x-1)( x^{2} +2x+5) \\ =>ecuatia: \\ (x-1)(x-1)( x^{2} +2x+5)=0$

p3) -----


$\text{Rescriem ecuatia:} \\ (x-1)(x-1)( x^{2} +2x+5)=0 \\ x^{2} +2x+5=0 \;\;\;\text{aceasta ecuatie nu are solutii reale} \\ \\ x-1=0 \\ x=1\;\;\;\;\;\text{doua solutii egale} \\ \text{Ne intoarcem la substitutie:} \\ \\ y= \frac{x^{2} +1}{2}= \frac{1^{2} +1}{2}= \frac{2}{2} =1 \\ \text{Solutia problemei este:} \\ x=1 \\ y=1$