Matematică, întrebare adresată de salutteo, 9 ani în urmă

Ai X lei in portofel
Si o moneda care are 50% sansa sa pice cap si 50% pajura
Cand dai cu banul, daca pica cap mai castigi un leu, daca pica pajura, pierzi un leu
Tu te apuci sa dai cu banul
Jocul se termina daca falimentezi SAU daca ajungi sa ai o suma M ( M e mai mare ca X-ul initial ). Daca nu, continui sa dai cu banul.
Care e probabilitatea sa falimentezi?

albatran: dac x este foarte mare si numarulde incercari foarte mare probailitatea sa falimentezi este practic nula

albatran: presupun suma x foartemare
1.1am 50% sanse sa pice cap si joculse termina, pt ca am obtinut M=x+1>x
1.2.am 50% sanse sa pice pajura si jocul continuaavand suma x-1

urmatorul eveniment independent..
2.1 am 50% sansesa pice cap si ajung la suma x, jocul continua
2,2 am 50 % sanse sa pice pajura si ajung la suma x-2, jocul continua

albatran: urmatorul eveniment independent
2,1.1 50% sanse sa pice cap si ajung la x+1 , joculse termina
2.2.1 50% sanse cap , ajung l;a x-1 jocul continua
2.2.2 50% sanse pajura.ajung la x-3 jocul continua

urmat ev independent
2.2.1.1 50% cap, ajung la x, jocul continua
2.2.1.2 50% pajura, ajung la x-2 , jocul continua
2.2.2.1 50%cap ajung la x-1 , jocul continua
2.2.2.2 50% pajuraa jung la x-3, jocul continua

..................

albatran: rebuie liuate in considerare TOATE variantele in care suma scade
ramificatia e foarte mare

pot calcula doar ramificatia principala
care merge pe x-1; x-2;x-3...x-x=0 faliment
care are probailitatea (1/2)*(1/2)*(1/3)*(1/4)*..(1/x)

albatran: ramurile celelalte, mai lungi, care se adauga
(1/2) *1*(1/3)*(1/4)*...*(1/x)*(1/(x+1))

posibil, nu am demonstat prin inductie
(1/2) *1*1*(1/4)*(1/5)*..*(1/x) *(1/(x+1))*(1/(x+2))

toateaceste probabilitati trebuie insumate
dar pt x suficientde mare ele tind catre 0 fiecare si posibil ca si suma lor sa tinda catre 0

albatran: nu am o rzolvarecorecta si riguroasa, dar, pt x natural, probabilitatea pare a fi usor mai maredecat(1/2) *1/x!

albatran: sorry 2.2.2.1 50%cap ajung la x-2 , jocul continua
2.2.2.2 50% pajuraa jung la x-4, jocul continua

Razzvy: Probabilitatea de a da faliment pornind de la x lei ar trebui sa fie 1/x

Razzvy: Problema e cum demnonstrezi

Razzvy: Daca Pk ar fi probabilitatea de a castiga jocul avand k lei si vrand sa ajungi la x+1 lei, atunci Pk = 1/2(P(k-1) + P(k+1))

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Razzvy

Sa zicem ca vrem sa calculam probabilitatea de a nu falimenta (e acelasi lucru cu probabilitatea de a falimenta, dar o scazi din 1).
Fie Pk probabilitatea de a castiga incepand de acum, stiind ca am pornit de la x lei, iar in prezent avem k lei (nu ne intereseaza evenimentele precedente).
Astfel, noi trebuie sa calculam Px, adica probabilitatea de a castiga pornind chiar de la x lei.
Px = ?

Daca facem diagrama arbore, observam ca daca pornim de la x lei, sunt 50% sanse de a ajunge in x+1 lei si a castiga, si sunt 50% sanse de a ajunge in x-1 lei si a continua jocul. Asta se poate scrie astfel:
$P_x=50\% P_{x-1}+50\%P_{x+1}=\frac{1}{2}(P_{x-1}+P_{x+1})$
Stim ca odata ce am ajuns la x+1 lei jocul este castigat, asadar sansele de castig sunt de 100%: $P_{x+1}=100\%=1\rightarrow P_x=\frac{1}{2}(1+P_{x-1})$
Cotinuand diagrama, observam ca de la x-1 lei putem ajunge in x-2 si in x, atlfel spus: $P_{x-1}=50\%P_{x-2}+50\%P_x=\frac{1}{2}(P_{x-2}+P_{x})$
La x-2 si la urmatoarele vom face la fel:[tex]P_{x-2}=\frac{1}{2}(P_{x-3}+P_{x-1})\\\\ P_{x-3}=\frac{1}{2}(P_{x-4}+P_{x-2})\\\\ P_{x-4}=\frac{1}{2}(P_{x-5}+P_{x-3})\\\\ P_{x-5}=\frac{1}{2}(P_{x-6}+P_{x-4})\\ ...\\\\[/tex]
Inductiv, se observa ca: $\boxed{P_k=\frac{1}{2}(P_{k-1}+P_{k+1})}$
Se va calcula pana cand ajungem la 0. Dar stim ca atunci cand ajungem la 0 lei jocul este pierdut, asadar probabilitatea de castig este 0: $P_0=0$
Acum incepem sa ne uitam la P1, P2, P3..., aplicand formula de mai sus:[tex]P_1=\frac{1}{2}(P_0+P_2)=\frac{1}{2}(0+P_2)=\frac{1}{2}P_2\\\\ P_2=\frac{1}{2}(P_1+P_3)=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}P_2+P_3)\rightarrow \frac{3}{4}P_2 = \frac{1}{2}P_3\rightarrow P_2=\frac{2}{3}P_3\\\\ P_3=\frac{1}{2}(P_2+P_4)=\frac{1}{2}(\frac{2}{3}P_3+P_4)\rightarrow P_3=\frac{3}{4}P_4[/tex]
Deja se poate observa regula generala: $\boxed{P_{k}=\frac{k}{k+1}P_{k+1}}$
Desigur ca aceasta trebuie demonstrata prin inductie.
Acum, nu facem decat sa aplicam formula de mai sus pentru Px, adica ce voiam noi sa aflam: $P_x=\frac{x}{x+1}P_{x+1}=\boxed{\frac{x}{x+1}}$
Aceasta este probabilitatea de a castiga; probabilitatea de a da faliment este: $P_{faliment}=1-P_x=1-\frac{x}{x+1}=\boxed{\frac{1}{x+1}}$