Question

Ajutati-ma si pe mine cu integrala asta,va rog.

Answer 1

Salut,

Numitorul fracției este 3x² -- 5x + 2.

Observăm că x = 1 este soluție a ecuației 3x² -- 5x + 2 = 0 (1)

Produsul rădăcinilor este 2/3, iar una dintre soluții este 1, deci a doua soluție este 2/3. Am ales o soluționare rapidă a ecuației (1) pentru că la examen nu vei avea timp de Delta, fiecare minut contează.

Dacă soluțiile sunt 2/3 și 1, atunci numitoru poate fi scris așa:

3x² -- 5x + 2 = 3(x -- 2/3)(x -- 1) = (3x -- 2)(x -- 1)

După cum arată soluțiile, fracția de sub integrală se scrie ca o sumă de 2 fracții. Asta înseamnă că ne vom folosi de metoda coeficienților nedeterminați, pentru a "sparge" fracția din enunț în sumă de 2 fracții.

Avem de aflat pe A și pe B din relația de mai jos:

$\dfrac{x+5}{3x^2-5x+2}=\dfrac{A}{3x-2}+\dfrac{B}{x-1}=\dfrac{Ax-A+3Bx-2B}{(3x-2)(x-1)}=\dfrac{(A+3B)x-A-2B}{(3x-2)(x-1)},\ de\ aici:\\\\\left\{\begin{array}{c}A+3B=1\\-A-2B=5\end{array}\right.\\\\Ob\c{t}inem\ c\breve{a}:\ A=-17,\ B=6.\ Avem\ deci:\\\\\dfrac{x+5}{3x^2-5x+2}=\dfrac{-17}{3x-2}+\dfrac{6}{x-1}=-\dfrac{17}3\cdot\dfrac{3}{3x-2}+6\cdot\dfrac{1}{x-1}=\\\\=-\dfrac{17}3\cdot(ln|3x-2|)'+6\cdot(ln|x-1|)'.$

$Deci\ \int\dfrac{x+5}{3x^2-5x+2}dx=\int\left[-\dfrac{17}3\cdot(ln|3x-2|)'+6\cdot(ln|x-1|)'\right]dx=\\\\=-\dfrac{17}3\cdot ln|3x-2|+6\cdot ln|x-1|+C,\ unde\ C=constant\breve{a}\in\mathbb{R}$

Soluția este corectă, dacă ținem cont de faptul că la ambii logaritmi expresia de sub logaritm trebuie să fie mai mare strict decât zero.

Dacă analizăm semnele funcțiilor g(x) = 3x – 2 și h(x) = x – 1, observăm că ambele au simultan semn pozitiv pentru x > 1, deci soluția corectă nu poate fi decât c).

Green eyes.