Matematică, întrebare adresată de Enescuioanna2, 9 ani în urmă

Ajutati-ma urgent , cat de repedeee puteti va rog din suflet
Fie ABCD un trapez isoscel cu AB || CD , [AD] = [BC] , AC perpendicular pe BC , BC = 24 cm si masura unghiului B = 60 grade . Aflati : a) perimetrul trapezului si lungimea diagonalelor sale ; b) calculati AO si OC daca AC intersectat cu BD = {O}.

renatemambouko: o sa-ti fac pct a, la b nu imi vine acum nici o idee

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de renatemambouko

in triunghiul ABC dreptunghic
cos 60 =BC/AB=24/AB= 1/2 ⇒ AB=24x2=48
ducem inaltimea CE din C pe AB
cos 60 =EB/BC=EB/24=1/2 ⇒ EB=24/2=12
rezulta DC= AB- 2x12= 48-24 = 24 cm
Perimetrul = 24+24+24+48= 120 cm
diagonalel AC=DB= √(AB²-CB²)=√(48²-24²)=√(2304-576)=√1728=24√3 cm

Enescuioanna2: da nu am facut cu cos inca

renatemambouko: si atunci problema de ce are dat un unghi de 60 de grade?

Enescuioanna2: da poate triunghiul este echilateral de aia cred

renatemambouko: nu ai triunghiuri echilaterale

renatemambouko: trapezul este isoscel deci ai 2 unghiuri la baza de 60 si cele obtuze fiecare de 120

renatemambouko: triunghiurile facuta de diagonale ci baza sunt dreptunghice cu un unghi de 60 si unul de 30

renatemambouko: deci imi pare rau chiar nu am idee

Enescuioanna2: dar la punctul b ?

renatemambouko: ti-am spus de la inceput ca nu am nici o idee la pct b

Enescuioanna2: a ok ok totusi merci

Răspuns de mariangel

Am atasat desenul.
a) In ΔABC dreptunghic in C avem m(<ABC)=60 grade, deci m(<BAC)=30 grade.
Cum AD=BC=24 cm rezulta ca trapezul este isoscel, deci are unghiurile de la baza congruente, deci
m(<BAD)=m(<ABC)=60 grade=m(<BAC)+m(<CAD)=30+m(<CAD), de unde:
m(<CAD)=30 grade
Deci in ΔABC dreptunghic in C avem cateta BC care se opune unghiului <BAC de 30 de grade, deci BC este jumatate din ipotenuza AB, adica
AB=2*24=48 cm.
<ABC si <BCD sunt suplementare (adica au suma masurilor=180 grade, deoarece sunt formate de AB || CD de aceeasi parte a secantei BC, interioare), deci m(<BCD)=180-m(<ABC)=180-60=120 grade
Dar m(<BCD)=120 grade=m(<BCA)+m(<ACD)=90+m(<ACD), deci
m(<ACD)=120-90=30 grade
Observam ca ΔACD este isoscel cu m(<CAD)=m(<ACD)=30 grade, deci AD=CD=24 cm
Asadar perimetrul trapezului ABCD=AB+AD+CD+BC=48+3*24=120 cm

Trapezul ABCD fiind isoscel, inseamna ca are si diagonalele AC si BD congruente, iar din ΔABC dreptunghic in C avem, cu teorema lui Pitagora:
$AC^{2} = AB^{2} - BC^{2}$ , de unde:
$AC^{2} = 48^{2} - 24^{2}$
AC=24 $\sqrt{3}$ cm

b) Cum AC perpendicular pe BC, rezulta ca si BD perpendicular pe AD, iar unghiurile <AOD si <BOC sunt opuse la varf, deci congruente, prin urmare ΔAOD ≡ ΔBOC (C.U.), deci AO≡BO.
Cum m(<OAD)=30 grade, rezulta ca, cateta OD, care se opune unghiului de 30 grade, este jumatate din ipotenuza OA Notam OD=a si aplicam teorema lui Pitagora in ΔAOD:
$OA^{2} = OD^{2} + AD^{2}$

$4* a^{2} = a^{2} + 24^{2}$

$3* a^{2} = 24^{2}$
a=8 $\sqrt{3}$ , deci
OA=OB=2a=16 $\sqrt{3}$ cm

Anexe: