Question

Ajutati-ma va rog cu exercitiul de mai jos

Answer 1

a) Îl dăm factor comun pe (x+1) şi facem acele înmulţiri de la numitor (ca să observăm mai uşor termenul general):

$(x+1) * \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + .... + \frac{1}{2009*2011} = \frac{1005}{2011}$

După cum observi, numitorul este pătratul perfect al numerelor pare - 1, adică:

$\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2-1}$

$\frac{1}{15}=\frac{1}{4^2-1}$ şamd

Deeeeeeci, termenul general va vi de forma: $\frac{1}{(2n)^2-1)}$

(x-ul rămâne în afară, fiindcă l-am dat factor comun)

Ecuaţia se va scrie:

$x\sum_{n=1}^{1005} \ \frac{1}{4n^2-1}$

Acel 1005 l-am obţinut egalând termenul general cu ultimul termen din acel şir:

$\frac{1}{(2n)^2-1} = \frac{1}{2009*2011} => n= \frac{\sqrt{2009*2011+1}}{2}=1005$

Nu ştiu cum v-a învăţat pe voi să rezolvaţi acele sume (care aparent se numesc 'sume telescopice', fancy word :)) .. ), dar cea mai lejeră metodă este să descompui acea fracţie 'compusă' în două fracţii simple:

$\frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

De aici aflăm A şi B....Anyway, nu cred că are rost să explic toţi paşii pentru descompunere, fiindcă mai mult ca sigur ai altă metodă. Chestia e că în final o să ajungem la:

$x\sum_{n=1}^{1005} \ \frac{1}{4n^2-1} = x\sum_{n=1}^{1005} \ ( \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)})$

Dacă dai nişte valori lui n pentru primii 2 termeni, observi că se simplifică între ei. De exemplu, dacă aş face suma de la n=1 până la 2 o să obţinem:

$\sum_{n=1}^{2} \ ( \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)})=$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$

Dacă am face de la n=1 la 1005 am rămâne doar cu primul şi ultimul termen. Ce vreau să explic este că acea sumă va fi egală cu:
 
$\sum_{n=1}^{2} \ ( \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)}) = \frac{1005}{2011}$

Deci x=1.


b) Modul de rezolvare l-am mai scris şi aici: http://brainly.ro/tema/125097.

$=> x(1+\sqrt{2024})=4004 => x= \frac{4004}{1+2\sqrt{506}}$

mda, arată cam urât rezultatul... :-??