Ajutati-ma va rog urgent!!!
Fie functia f:R-R, f(x)=mx^2-(m+1)x+2m-1.
Determinati valorile reale ale lui m,pentru care graficul functiei f este o parabola cu ramurile im sus si nu are nici un punct comun cu axa abciselor.
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
Avem functia f:R->R, f(x)=mx^2 -(m+1)x+2m-1
Aceasta functie este una de gradul 2, deci graficul sau va avea forma unei parabole. Ca parabola sa fie convexa (sa aiba ramurile in sus) coeficientul lui x^2, adica m trebuie sa fie pozitiv. Deci m>0
Ca parabola sa nu aiba nici un punct comun cu axa absciselor (axa Ox) Δ trebuie sa fie negativ. Deci Δ<0
Formula lui Δ=b^2 -4ac ; in acest caz a=m ; b= -m-1 ; c=2m-1
Δ= (-m-1)^2 -4m(2m-1)
Δ= m^2 +2m+1-8m^2 +4m
Δ= -7m^2 +6m+1
Avem o inecuatie: -7m^2 +6m+1<0
O rezolvam ca o ecuatie de gradul 2 apoi studiem semnul, se poate rezolva tot cu Δ dar prefer sa dau factori.
-7m^2 +7m-1m+1=0
-7m(m-1)-1(m-1)=0
(m-1)(-7m-1)=0 =>
m-1=0 => m=1
-7m-1=0 => 7m= -1 => m= -1/7
Daca facem un tabel cu semn intre aceste solutii am avea semn contrar lui a, adica + (a fiind -7), iar in afara solutiilor spre ∞ si -∞ avem semnul lui a, adica -
De la inceput stim ca m>0 si functia de mai sus (Δ) trebuie sa fie <0
Deci m ∈ (1 , ∞) , m∈R.