ajutati maaaa ex 15....
Răspunsuri la întrebare
Avem VABCD piramida regulata
pentru a evidentia geometric minimul AP+PM facem o desfasurata care consta in rabaterea fetei laterale VDC cu axa de rotatie DC pana ce punctul V se va situa in planul bazei (ABCD)
concret:
se deseneaza un patrat care e baza piramidei
pe latura CD se construeste un triunghi
isoscel CDV
se pune punctul M la mijlocul lui CV intersectia lui AM cu CD este punctul P
se uneste A cu M, rezulta segmnentul AM
notam PD=x
din M coboram o perpendiculara pe prelungirea lui AD si notam cu N intersectia acestora, MN este perpendiculara pe AN
notam cu M' intersectia lui MN cu DV
MM' e linie mijlocie in tr. CDV
inaltimea h a triunghiului isoscel CDV se calculeaza usor
h^2=VD^2 - CD^2/4=100-36
h = 8
DN = h / 2 = 4 (linia mijlocie taie pe h in 2 parti egale)
triunghiurile APD si AMN sunt asemenea (simplu de aratat)
rapoartele de asemanare:
1) x/MN = AD/AN
MN=CD/2+MM^ prime / 2 = 6 + 3 = 9
AN = AD + DN = 12 + 4 = 16
relatia 1) devine:
x / 9 = 12/16
x = 27/4
deci PD = 27/4 si CP = 12 - 27/4 = 21/4 si astfel am determinat pozitia lui P pe segmentul C
Eu am ales DP.
AP+PM = minim <=> AP+PM+AM=minim =) Perimetrul APM= minim <=> la desfășurarea plana a piramidei, punctele A, P, M sa fie pct coliniare
Rezulta prin cazul U.U ca triunghiul DPA este asemenea triunghiul QPM
Rezulta ca DP/QP=PA/PM=DA/QM
MQ perpendicular pe DC
VN perpendicular pe DC
Rezulta din cele doua ca MQ paralel cu VN, iar M este mijl lui VC rezulta prin reciproca liniei mijlocii ca Q= mijl lui NC iar NQ=QC= NC/2=6/2=3
Din M mijloc si Q mijloc rezulta ca MQ e l.m in triunghiul VNV, adica MQ= VN/2
Aplica T.P in triunghiul VNC
Rezulta ca VC la 2= VN la 2 plus NC la 2
10 la 2 = VN la 2 plus 6 la 2
100= VN la 2 + 36
VN la 2=64
VN=8
Rezulta ca MQ= 8/2 =4
DQ= DN+NQ=6+3=9 cm
Inlocuim in raportul de asemanare:
DP/QP=PA/PM=12/4 (se simplifica si ramane 3/1)
luam DP/QP=3/1 rezulta ca DP=3p(parti)
si QP=1p iar DQ=4p
9=4p|:4
p=2,25
Rezulta ca DP=3 ori 2,25 = 6,75
