Question

Ajutor la 2 si 3, va rog!

Answer 1

Explicație pas cu pas:

2.

$f = {X}^{20} - {X}^{14} + 2{X}^{4} - 2{X}^{2}$

$= {X}^{14}\left( {X}^{6} - 1 \right) + 2{X}^{2}\left({X}^{2} - 1 \right)$

$= {X}^{14}\left( {X}^{3} - 1 \right)\left( {X}^{3} + 1 \right) + 2{X}^{2}\left(X - 1 \right)\left(X + 1 \right)$

$= {X}^{14}\left(X - 1 \right)\left( {X}^{2} + X + 1 \right)\left( {X}^{3} + 1 \right) + 2{X}^{2}\left(X - 1 \right)\left(X + 1 \right)$

$= {X}^{2}\left(X - 1 \right)\left[ {X}^{12}\left( {X}^{2} + X + 1 \right)\left( {X}^{3} + 1 \right) + 2\left(X + 1 \right) \right]$

3.

$f = {X}^{3} - 3{X}^{2} + 11{X}^{4} - m$

polinomul are rădăcinile:

$x_{1}, x_{2}, x_{3}$

din Relațiile lui Viete:

$s_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} = 3$

$s_{2} = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = \frac{c}{a} = 11$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2(x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3}) \\ = s_{1}^{2} - 2s_{2} = 9 - 22 = - 13 < 0$

deoarece avem o sumă de pătrate negativă => există rădăcini complexe

=> rădăcinile polinomului nu pot fi toate reale, oricare ar fi m ∈ R