Question

Ajutor, va rog!!!
Fie x un numar real astfel incat 2x² +5x+6 si 3x²+4x+5 sunt numere rationale. Aratati ca x este un numar rationa

Answer 1

Cum $2x^{2}+5x+6$ si 6 sunt numere rationale => $2 x^{2} +5x$ este rational.
Cum $3 x^{2} +4x+5$ si 5 sunt numere rationale => $3x^{2}+4x$ este rational.

Cum $2 x^{2} +5x$ si $3 x^{2} +4x$ sunt rationale, rezulta ca si raportul lor este rational.

$\frac{ 2x^{2}+5x }{ 3x^{2} +4x} = \frac{x(2x+5)}{x(3x+4)} = \frac{2x+5}{3x+4}$∈Q.

Cum $\frac{2x+5}{3x+4}$∈Q => Exista doua numere intregi p si g (prime intre ele) astfel incat $\frac{2x+5}{3x+4}= \frac{p}{q}=>2xq+5q=3xp+4p=>x(2q-3p)=4p-5q.$

Acum voi demonstra ca 2q-3p≠0.

Presupunand prin absurd ca 2q=3p, ar rezulta $\frac{q}{3}= \frac{p}{2} =>q=3k~si~p=2k.$ (k∈Z*).

x(2q-3p)=4p-5q <=> 0=8k-15k <=> 0=-7k => k=0, ceea ce este imposibil! (ar rezulta q=0 si atunci fractia $\frac{p}{q}$ nu ar fi definita).

Deoarece 2q-3p≠0 si x(2q-3p)=4p-5q => $x= \frac{4p-5q}{2q-3p}$∈Q. (Pentru ca atat numaratorul, cat si numitorul sunt numere intregi).