Question

Ajutorrrrrrrr!!!!!!!!

Answer 1

Avem sistemul :


[tex]\it \begin{cases}x+y+z=1\\\ \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} =1 \\\;\\ xy+yz+zx=-4\end{cases}[/tex]

În a doua ecuație,  aducem la același numitor membrul din stânga și obținem:


$\it \dfrac{yz+xz+xy}{xyz} =1 \Leftrightarrow \dfrac{xy+yz+zx}{xyz} =1$


Numărătorul ultimei ecuații este egal cu -4, de la a treia ecuație a sistemului.

Vom avea:

$\it \dfrac{-4}{xyz} =1 \Leftrightarrow xyz =-4$

Deci am arătat  punctul b).

Acum, sistemul devine:


[tex]\it \begin{cases}\it x+y+z=1 \\\;\\ \it xy+yz+zx=-4 \\\;\\ \it xyz = -4\end{cases} [/tex]


Cele trei ecuații reprezintă relațiile lui Viète pentru soluțiile ecuației:

 t³ - t² - 4t + 4 = 0

Vom rezolva această  ecuație:


 t³ - t² - 4t + 4 = 0 ⇔ t²(t-1) - 4(t-1)=0 ⇔ (t-1)(t²-4) =0 ⇔ (t-1)(t-2)(t+2) =0

t + 2 = 0 ⇒ t₁ = -2

t + 1 = 0 ⇒ t₂ = -1

t - 2 = 0 ⇒ t₃ =  2

Am rezolvat astfel punctul a)

c) Sistemul dat este omogen, iar o soluție este dată de soluțiile

 ecuației rezolvate la punctul a).

Mulțimea soluțiilor sistemului este:

S = {(-2, 1, 2), (-2, 2, 1), (1, -2, 2), (1, 2, -2), (2, 1, -2), (2, -2, 1)}

Așadar, sistemul are 6 soluții.