Question

Ajutorul dumneavoastră este necesar la această problemă​

Answer 1

Răspuns:

Fie $f(x)=y$. Rezultă

$\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}=y\Rightarrow x^2+2x+2=x^2y+xy+y\Rightarrow(y-1)x^2+(y-2)x+y-2=0$

Ecuația trebuie să aibă rădăcini reale, deoarece funcția este definită pe R. Atunci

$\Delta\ge 0\Rightarrow (y-2)^2-4(y-1)(y-2)\ge 0\Rightarrow -3y^2+8y-4\ge 0$

Rădăcinile sunt

$y_1=\displaystyle\frac{2}{3}, \ y_2=2$

Atunci $y\in\left[\displaystyle\frac{2}{3},2\right]$. Deci imaginea func'iei este intervalul $\left[\displaystyle\frac{2}{3},2\right]$.

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Explicație pas cu pas:

$f(x) = \frac{ {x}^{2} + 2x + 2}{{x}^{2} + x + 1}$

${x}^{2} + x + 1 \not = 0$

$f'(x) = \Big(\frac{ {x}^{2} + 2x + 2}{{x}^{2} + x + 1}\Big)' =$

$= \frac{({x}^{2} + 2x + 2)' \cdot ({x}^{2} + x + 1) - ({x}^{2} + 2x + 2) \cdot ({x}^{2} + x + 1)'}{({x}^{2} + x + 1)^{2}}$

$= \frac{(2x + 2) \cdot ({x}^{2} + x + 1) - ({x}^{2} + 2x + 2) \cdot (2x + 1)}{({x}^{2} + x + 1)^{2}}$

$= - \frac{x(x + 2)}{({x}^{2} + x + 1)^{2}}$

$f'(x) = 0 \implies \frac{- x(x + 2)}{({x}^{2} + x + 1)^{2}} = 0 \\ \iff x(x + 2) = 0$

$x = 0 \implies f(x) = 2 \\ \Big(0;2\Big) \ \ punct \ de \ maxim \\ x = - 2 \implies f(x) = \frac{2}{3} \\ \Big( - 2; \frac{2}{3} \Big) \ \ punct \ de \ minim$

$\implies \bf \frac{2}{3} \leqslant f(x) \leqslant 2$