Question

Alte probleme ..Offff Geometria asta

1. Fie ABCD  patrulater  convex in care AC+ BD=40 cm. Daca M , N , P , Q mijloacele laturilor AD , AB , BC , respectiv CD  :
 a)demonstrati ca MNTQ este paralelogram .
 b) aflati permietrul paralelogramului MNPQ.

2. Pe laturile AB  si CD ale rombului  ABCD  se aleg punctele N , respectiv M astfel incat [BN]≡[DM] ; notam AC  interecata cu BD in O .
a)demonstrati ca [DN]≡[BM]
b)demonstrati ca [ON]≡[OM]
c) demonstrati ca punctele M , O  si N sunt coliniare
..........

Multumesc celor care ma veti ajuta :)

Answer 1

1.a) Comparam Δ CPQ cu Δ CBD
2CP =BC, 2CQ=DC, adica
$\frac{PC}{BC} = \frac{CQ}{CD} = \frac{1}{2}$

 , <C-comun, deci
Δ CPQ ~ Δ CBD =>
 BD|| BQ si BD= 2PQ                                                                 (1)

Comparam ΔAMN cu ΔADB
AD=2AM si AB = 2AN , adica

 $\frac{AM}{AD} = \frac{AN}{AB} = \frac{1}{2}$

ΔAMN ~ ΔADB
=> MN || BD si BD=2MN                                                            (2)
din relatiile  (1) si (2) => MN=PQ si MN || PQ || BD                   (3)

Comparam la fel ΔBNP cu ΔBAC
si ΔDMQ cu ΔDAC , si similar vom trage concluzia ca
NP=MQ si  NP || MQ || AC                                                          (4)

din relatiile (3) si (4) MNPQ= paralelogram

b) Perimetrul MNpQ=MN+NP+PQ+QM=2MN+2PQ=AC+BD=40 mc

2.a)Comparam ΔNBD cu ΔDBM
NB=DM, BD=BD, <NBD=<BDM (deoarece BD este diagonala in romb) =>
 [DN]≡[BM]
b)Daca O=BD intersectat cu AC in romb, atunci BO=OD
comparam ΔOND cu ΔOMD=>NB=DM, BO=OD, <NBO=<ODM => [ON]≡[OM]
c) Daca NB || DM si NB=DM, iar BN=ND, atunci BNDM este paralelogram iar NM si BD sunt diagonale,
 daca o este mijlocul diagonalei BD, iar NO=OM  onseamna ca o este mijlocul diagonalei MN , si inseamna ca  punctele M , O  si N sunt coliniare