Question

Am generalizat problema cu periodicitatea functiilor {x+1/2} si |{x+1/2}-x| gasita aici. Am facut-o mai prietenosa decat la prima postare.Sper sa fie admisa si rezolvata.Distractie!
Cu notatiile {a}, [a] si | a | cunoscute, fie functiile
f(x)={ax+b}
si
g(x)=|[ax+b]-(ax+b)| :R->R, a∈R*, b∈R
a) aratati ca functiile sunt identice;
b)aratati ca f(x) este periodica si aflati perioada;
c)scrieti sub forma de interval multimea valorilor functiei f(x);
d) facultativ: trasati graficele functiei f in cazurile a>0 si, respectiv a<0.

Answer 1

a) se  aplic  formula 
y=[y]+{y} 
Incazul  tau  y=ax+b
[ax+b]-(ax+b)=-((ax+b)-[ax+b])= -{ax+b}
g(x)=l-{ax+b}l={ax+b}=f(x)
b) Fie  T∈R*
f(x+T)={a(x+T)+b}={ax+b}=>a·T  numar  intreg,pt  ca  orice  numar  intreg  e  perioada  pt  functia  parte  fractionara  Ex  {1/2}={1+1/2}={2+1/2}...=0,5
Perioada  =aT=k   k∈Z*
pt  k=1 T=1/a
k=2  T=2/a
K=-1  T=-1/a
Deci  T={...-1/a,  1/a.2/a...}
f(x)∈[0 ,1)
d)  am  facut  graficul  pt  cazul  a=1>0  si  b=0
deci  f(x)={x}
Parantezele  rotunde din  capatul  segmentelor  indica  faptul  ca  f(x)<1 ∀x