Question

Am legea de compozitie "*": x*y=6xy-5(x+y)+5, oricare x, y apartin lui R.
Se cere: a) Sa se determine simetricul lui 2 in raport cu legea de compozitie "*".
             b) Sa se rezolve ecuatia: x*x*x=x

Answer 1

a) Pentru a afla simetricul unui punct avem nevoie mai întâi de elementul neutru.

N: Există e ∈ R, a.î. x*e=e*x=x (acest enunţ implică şi comutativitatea, pe care trebuie să o demonstrezi separat; presupun totuşi că este suficient să spui că 'înmulţirea şi adunarea numerelor reale este comutativă').

$x*e=x<=>6xe-5(x+e)+5=x<=>6xe-5x-5e+5-x=0$
[tex]<=>6xe-6x-5e+5=0\\ <=>6x(e-1)-5(e-1)=0\\ <=>(e-1)(6x-5)=0[/tex]

De aici rezultă că e-1=0 => e=1, ∈ R.

S:  Există x' ∈ R, a.î. x*x'=x'*x=e (adică =1)

$6x'x -5x-5x'-5=1<=>x'(6x-5)-5x+4=0$

$=> x' = \frac{5x-4}{6x-5}$

x=2 => x' = 6/7

b) $(x*x)*x= (6x^2-10x+5)*x$

$=> (x*x)*x= (6x^2-10x+5)*x$

$=>6x(6x^2-10x+5)-5(6x^2-9x+5)+5=x$

$=> 6x(6x^2-10x+5)-5(6x^2-9x+5)+5-x=0$

$=> 2(x-1)(3x-2)(6x-5)=0$

[tex]x_1= \frac{2}{3}\\ \\ x_2=\frac{5}{6}\\ \\ x_3=1[/tex]