Question

AM MARE NEVOIE DE AJUTOR!

Arătați că:
{x+{y+z}}={x+y+z}, oricare ar fi x, y, z € R.

Este exercițiu de la partea întreaga și fracționara.

Answer 1

{x+{y+z}}={x+y+z} a.i. x,y,z∈R .

Presupunem urmatoarele variante posibile:

i. x,y,z sunt simultan numere intregi => y+z∈Z <=> {y+z}=0 <=> {x}={x+y+z} <=> x∈Z si x+y+z∈Z => 0=0 ,care este adevarat ;

ii. y,z sunt simultan intregi si x∈R\Q => y+z∈Z <=> {y+z}=0 <=> {x}={x+y+z} <=> {x}={x} ,care este adevarat ;

iii. x este intreg si y,z∈R\Q => {x+{y+z}}={x+y+z} <=> {y+z}={y+z} ,care este adevarat ;

iv. x,z sunt simultan intregi si y∈R\Q => {y+z}={y} <=> {x+{y+z}}={x+y+z} <=> {y}={y} ,care este adevarat ;

v. z este intreg si x,y∈R\Q => {y+z}={y} => {x+{y+z}}={x+y+z} <=> {x+y}={x+y} ,care este adevarat ;

vi. x si y sunt simultan intregi si z∈R\Q => {y+z}={z} <=> {x+{y+z}={x+y+z} <=> {z}={z} ,care este adevarat ;

vii. y este intreg si x,z∈R\Q => {y+z}={z} => {x+{y+z}={x+y+z} <=> {x+z}={x+z} ,care este adevarat ;

Pentru x,y,z∈R\Q obtinem aceeasi concluzia ca cele 7 de mai sus. Asadar pentru orice x,y,z∈R avem {x+{y+z}={x+y+z} .