Matematică, întrebare adresată de Andreea1104, 9 ani în urmă

Am nevoie de ajutor aici! Mulțumesc!

Anexe:

Rayzen: cred ca e greseala in carte, la C trebuia sa fie fara minus

Rayzen: [tex]\displaystyle I =\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\, dx\\ \\ \\\sqrt{x^2-1} = t\Rightarrow \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}\, dx = dt \Rightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\, dx = dt\\\\ x^2-1 = t^2 \Rightarrow x^2 = t^2+1\\ \\ I = \int \Big(\dfrac{1}{x^2}\cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\Big)\, dx = \int \dfrac{1}{t^2+1}\, dt = \text{arctg}(t)+C = \\ \\ = \text{arctg}(\sqrt{x^2-1})+C[/tex]

Andreea1104: Multumesc! In carte scrie ca B) este corect. Eu am obtinut exact cum ai spus si tu, c) fara minus.

Rayzen: De fapt B) e corect

Rayzen: Au dreptate.

Rayzen: Mda..

Rayzen: nu e gresit in carte.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

Presupunem ca am ajuns la raspunsul arctg(√(x²-1))+c dar nu il gasim in variantele de raspuns. (Si acesta este tot raspuns corect)

Incercam schimbarea de variabila 1/x in schimb, deoarece 1/x se afla in celelalte variante.

$f:(-\infty, -1)\to \mathbb{R},\quad f(x) = \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\\ \\ \displaystyle I =\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx\\ \\ \dfrac{1}{x} = t \Rightarrow x = \dfrac{1}{t}\Rightarrow dx = -\dfrac{1}{t^2}\, dt\\ \\ I = -\int \dfrac{t}{\sqrt{\dfrac{1}{t^2}-1}}\dfrac{1}{t^2}\, dt = -\int \dfrac{1}{t\sqrt{\dfrac{1-t^2}{t^2}}}\, dt =-\int \dfrac{1}{t\cdot \dfrac{1}{|t|}\sqrt{1-t^2}}\, dt =$

$\displaystyle x < -1 \Rightarrow \dfrac{1}{x} < -1 \Rightarrow t<-1\Rightarrow |t| = -t \\ \\ = -\int \dfrac{1}{t\cdot \dfrac{1}{-t}\sqrt{1-t^2}}\,dt= -\int \dfrac{1}{-\sqrt{1-t^2}}\, dt = \int \dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\, dt = \\ \\ = \arcsin(t)+c = \arcsin\dfrac{1}{x}+c\\ \\ \Rightarrow \boxed{B}- \text{corect}$