Question

Am nevoie de ajutor la Sub 2 ex 1 b) si c) va rog

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) Considerăm matricea $A=\begin{bmatrix} a&b\\b&a \end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu $b\ne 0.$ Să considerăm mulțimea $S:=\left\{n\in\mathbb{N}:\: A^n=\begin{bmatrix}x_n&y_n\\y_n&x_n\end{bmatrix}\right\}$ unde $x_n:=\dfrac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2},\quad y_n:=\dfrac{(a+b)^n-(a-b)^n}{2}$ cu privirea de a arăta că $S=\mathbb{N}$. Este evident că $1\in S$ prin definiția matricei $A$. Să presupunem că $n\in S.$ Deci

$A^{n+1}=A^nA=\begin{bmatrix}x_n&y_n\\y_n&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&b\\b&a \end{bmatrix}=...=\begin{bmatrix} x_{n+1}&y_{n+1}\\y_{n+1}&x_{n+1}\end{bmatrix}$ de unde vine că $n+1\in S.$ Dar asta înseamnă că $S$ este o mulțime inductivă. Știind că $\mathbb{N}$ este cea mai mică mulțime inductivă, vine că $S=\mathbb{N}$.

b) Folosind linia anterioară, avem că $\begin{bmatrix} x_3&y_3\\y_3&x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&2 \end{bmatrix}.$ De aici vom avea de rezolvat sistemul următor: $\begin{cases}\dfrac{(a+b)^3+(a-b)^3}{2}=2\\\dfrac{(a+b)^3-(a-b)^3}{2}=1\end{cases}$.

Dar ea este echivalentă cu

$\begin{cases} (a+b)^3=3\\ (a-b)^3=1 \end{cases}\iff\begin{cases} a+b=\sqrt[3]{3}\\ a-b=1 \end{cases}\iff\begin{cases} a=\dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2}\\ b=\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2} \end{cases}.$

Deci unica soluție (se demonstrează că e unică prin analiza vectorile proprii) pentru ecuația în joc este $X=\begin{bmatrix} \dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2}&\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2}\\\\\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2}&\dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2} \end{bmatrix}.$