Question

Am nevoie de putin ajutor:

Answer 1

Ti le rezolv eu dar macar sa imi dai cele 5 puncte pentru cel mai bun raspuns pentru ca este o gramada de scris

1a) Stim ca derivata unei functii intr-un punct are formula

$f '(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
Folosim Aceasta formula pentru $x_{0}=0$ Si obtinem
 $f '(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$(1)
Deci practic acea limita este chiar f'(0) Atunci avem in general:
$f  '(x)=(e^{x}-x-1)'=e^{x}-1\Rightarrow f '(0)=e^{0}-1=0$
1b) Am stabilit deja ca:
$f '(x)=e^{x}-1$ Observam ca:
$x\leqslant0\Rightarrow e^{x}\leqslant1 \Rightarrow e^{x}-1\leqslant0\Rightarrow f'(x)\leqslant0$
Dar stim ca atunci cand derivata functiei este mai mica decat 0, atunci functia este descrescatoare, exact ce este in cerinta
1c) Sa presupunem cazul contrar acum, si anume ca x>0
$x>0\Rightarrow e^{x}>1 \Rightarrow e^{x}-1\>0\Rightarrow f '(x)>0$
$\lim$
Deci pentru restul numerelor naturale, derivata functiei este pozitiva, ceea ce inseamna ca f este crescatoare
Deci f este descrescatoare pana la x=0, si apoi devine crescatoare din nou cand x e mai mare ca 0. Atunci x=0 este punctul de minim, iar f(0) este minimul functiei, avem relatia $f(x)x\geqslantf(0)\Rightarrow e^{x}-x-1\geqslantf(0)$
Stim ca $f(0)=e^{0}-0-1=1-1=0$
Reiese ca:$e^{x}-x-1\geqslant0 \Rightarrow e^{x}\geqslantx-1$

2a) $\int_{0}^{1} (f(x)+2x-5)=\int_{0}^{1} (x^{2}-2x+5+2x-5)=\int_{0}^{1} x^{2}=\frac{x^{3}}{3}|_{x=0}^{x=1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1^{3}}{3}$
2b)$\int_{0}^{2} \frac{f '(x)}{f(x)}=\int_{0}^{2} \frac{2x-2}{x^{2}-2x+5}=\int_{0}^{2} \frac{2(x-1)}{(x-1)^{2}+4}dx$
In momentul asta, facem substituire de variabila: t=x-1, atunci x=t+1, se schimba intervalele, 0 devine t=0-1=-1, iar 2 devine t=2-1=1
dx devine d(t+1)=dt

deci ecuatia este acum:   $\int_{-1}^{1} \frac{2t}{t^(2)+4}=ln(t^(2)+4)|_{x=-1}^{x=1}=ln((-1)^{2}+4)-ln((1)^{2}+4)=ln(5)-ln(5)=0$

Aici am folosit faptul ca $\int \frac{1}{x}=ln(x)$ iar denumitorul era exact functia de jos denumita, deci asa am avut voie sa fac operatia
2c)  $\int_{2014}^{2015} \frac{1}{f(x)}\leqslant\frac{1}{4}$
       $\int_{2014}^{2015} \frac{1}{(x-1)^2+4}\leqslant\frac{1}{4}$
       $\int_{2014}^{2015} \frac{1}{ (x-1)^{2}+2^{2}}\leqslant\frac{1}{4}$
       $\int_{2014}^{2015} \frac{1}{ (x-1)^{2}+2^{2}}\leqslant\frac{1}{4}$
       $\int_{2014}^{2015} \frac{1}{ (x-1)^{2}+2^{2}}\leqslant\frac{1}{4}$
Dar tu stii ca
       $\int \frac{1}{ ((x)^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}$
       Aplicand pentru formula noastra
       $\frac{1}{2}\arctan{\frac{x-1}{2}}|_{x=2014}^{x=2015}\leqslant\frac{1}{4}$
       $\arctan{\frac{2014}{2}}-\arctan{\frac{2013}{2}}\leqslant\frac{1}{2}$
    
       Stim ca functia arctan pentru valori foarte mari tinde catre pi/2, atunci optinem la final
       $\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\leqslant\frac{1}{2}$ care este adevarat