Am nevoie de toate teoremele si formulele invatate din clasa a 9-a.
Va rog am nevoie de ele azi! Maine trebuie sa prezint portofoliu din astea.
albatran:
succes, ce potsa zic...chiardac ti le scrie cineva, bine e sale transcrii cumana ta...vecde si ca ai muncit si, in plus, vrand nebvrand, mai inveti cateceva...ptca....s-ar putea sa te intrebe din portofoliu...
Pai stiu ca ma asculta, dar am lipsit la cateva lectii si la unele nu am scris tot si am nevoie de ele ca sa fie portofoliul impecabil.
depinde pe ce pune profa accentul, pe ce stii sau pe ce e scris de acasa
Pe portofoliu ( L-a dat ca sa scapam de corigenta mai mult)
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
8
Salut,
• inducția matematică :
S1 = n(n+1)/2 → 1+2+3+...+n
S2 = n(n+1)(2n+1)/6 → 1²+2²+3²+..+n²
S3 = [n(n+1)/2]² → 1³+2³+3³+...+n³
k/n(n+1) = 1/n-1/(n+1)
k/n(n+k) = 1/n-1/(n+k)
• progresii :
1) progresia aritmetică :
an = a1+(n-1)•r
an = (an-1+an+1)/2
a, b, c sunt în progresie aritmetică : b = (a+c)/2
a1+an = a2+an-1+an-2 = ... = ak+an-k+1 = constant.
S = a1+a2+..+an = (a1+an)•n/2 = [2a1+(n-1)•r]•n/2.
a1 = a1
a2 = a1+r
a3 = a2+r
a4 = a3+r
.
.
.
2) progresia geometrică :
bn = b1•q, q≠1.
b3 = b2•q
b4 = b3•q
.
.
.
bn = (bn-1)•q
a, b, c sunt în progresie geometrică : b = √a•c.
b1•bn = b2•(bn-1) = b3•(bn-2) = constant.
Sn = b1+b2+..+bn
Sn = b1(qⁿ-1)/(q-1).
• funcția de gradul I :
f : |R → |R
f(x) = ax+b.
ax+b = 0
ax = -b
x = -b/a → soluția funcției de gradul I
Gf n Ox = A(x;0).
Gf n Oy = B(0;y).
• funcția de gradul II :
f : |R → |R
f(x) = ax²+bx+c, a ≠ 0.
ax²+bx+c = 0 → ecuația de gradul II
∆ = b²-4ac → discriminantul funcției de gradul II
1) ∆ > 0 → ecuația are 2 soluții reale
x1,2 = (-b±√∆)/2a.
ax²+bx+c = a(x-x1)(x-x2).
2) ∆ = 0 → x1 = x2 → -b/2a.
ax²+bx+c = 0
a(x-x1)².
3) ∆ < 0 → x1,x2 nu aparțin mulțimii numerelor reale.
ax²+bx+c = a(x+b/2a)²+(-∆/4a). → forma canonică.
* Graficul funcției este o parabolă care are vârful V(-b/2a ; -∆/4a).
xv = -b/2a (abscisă)
yv = -∆/4a (ordonată)
I) a > 0 → vârful este punct de minim (convexă)
Min f(x) = yv = -∆/4a.
x € (-∞;-b/2a) → f(x) ↓
x € (-b/2a;+∞) → f(x) ↑
Im f(x) = (-∆/4a;+∞).
1) ∆ > 0 → Gf n Ox = A(x1;0) ; B(x2;0).
Gf n Oy = C(0;y).
2) ∆ = 0 → V(-b/2a;0)
3) ∆ < 0.
II) a < 0 → vârful este punct de maxim (concavă).
1) ∆ > 0
x € (-∞;-b/2a) → f(x) ↑
x € (-b/2a;+∞) → f(x) ↓
Im f(x) = (-∞;-∆/4a).
2) ∆ = 0 → V(-b/2a;0).
3) ∆ < 0.
• relațiile lui Vièté :
S = x1+x2 = -b/2a
P = x1•x2 = c/a.
ax²+bx+x /:a
x²+b/a•x+c/a = 0
x²-Sx+P = 0.
• vectorii :
1) regula ∆ :
AB (vector) + BC (vector) = AC (vector)
2) regula paralelogramului :
AB (vector) + AC (vector) = AD (vector)
AB (vector) - AC (vector) = CB (vector)
P(x;y) → OP = xi (vector) + yj (vector) → expresia analitică a vectorului de poziție a unui punct în plan.
|OP| (vector) = √x²+y².
M1(x1;y1)
M2(x2;y2)
M1M2 (vector) = (x2-x1)i (vector) + (y2-y1)j (vector)
|M1M2| = |M2M1|
|M1M2| = √(x2-x1)²+(y2-y1)².
fie : v1 = x1i (vector) + y1j (vector)
v2 = x2i (vector) + y2j (vector)
|v1| (vector) = √x1²+y1²
|v2| (vector) = √x2²+y2²
v1 ( vector) + v2 (vector) = (x1+x2)i (vector) + (y1+y2)j (vector)
v1(vector) • v2(vector) = |v1| (vector) • |v2| (vector)•cos a (a = alfa). = x1x2+y1y2.
a = (v1,v2).
cos a = [v1 (vector) • v2(vector)]/ |v1| (vector) • |v2| (vector) = (x1x2+y1y2)/√x1²+y1²•√x2²+y2².
v1 (vector) || v2 (vector) → coliniari <=> x1/x2 = y1/y2.
v1 (vector) perpendicular v2 (vector) <=> v1 (vector) • v2 (vector) = 0 <=> x1x2+y1y2 = 0.
M(x;y) mijl. [AB] <=> xM = (xA+xB)/2.
yM = (yA+yB)/2.
• cercul trigonometric :
π = 180° (π ≈ 3,1415..)
sin a (alfa) = cateta opusă/ipotenuză
cos a = cateta alăturată/ipotenuză
tg a = cateta opusă/cateta alăturată
ctg a = cateta alăturată/cateta opusă.
sin²x+cos²x = 1 → formula fundamentală a trifonometriei.
CI € (0;π/2) sin a >0 ; cos a > 0 ; tg a > 0 ; ctg a > 0.
CII € (π/2;π) sin a > 0 ; cos a < 0 ; tg a < 0 ; ctg a < 0.
CIII € (π/3π/2) sin a < 0 ; cos a < 0 ; tg a > 0 ; ctg > 0.
CIV € (3π/2;2π) sin a <0 ; cos a > 0 ; tg a < 0 ; ctg a < 0.
• (aici nu știu cum se numește exact lecția, scuze) :
sin (a+b) = sin a • cos b + sin b • cos a.
sin (a-b) = sin a • cos b - sin b • cos a.
cos (a+b) = cos a • cos b - sin a • sin b.
cos (a-b) = cos a • cos b + sin a • sin b.
tg (a+b) = (tg a+tg b)/(1-tg a•tg b).
tg (a-b) = (tg a -tg b)/(1+tg a •tg b).
ctg a = 1/tg a.
sin 2a = 2 sin a • cos a.
cos 2a = cos²a-sin²a = 2cos²a-1 = 1-2sin²a.
tg 2a = 2tg a/1-tg²a.
a → alfa
b → beta.
• transformarea sumelor în produs :
cos a + cos b = 2cos (a+b)/2•cos (a-b)/2.
coa a - cos b = -2sin (a+b)/2•sin (a-b)/2.
sin a + sin b = 2sin (a+b)/2•cos (a-b)/2.
sin a - sin b = 2sin (a-b)/2•cos (a+b)/2.
• transformarea produselor în sumă :
sin x • cos y = [sin(x+y)•sin(x-y)]/2.
cos x • cos y = [cos(x+y)•cos(x-y)]/2.
sin x • sin y = [cos(x-y)-cos(x+y)]/2.
Succes! :3
• inducția matematică :
S1 = n(n+1)/2 → 1+2+3+...+n
S2 = n(n+1)(2n+1)/6 → 1²+2²+3²+..+n²
S3 = [n(n+1)/2]² → 1³+2³+3³+...+n³
k/n(n+1) = 1/n-1/(n+1)
k/n(n+k) = 1/n-1/(n+k)
• progresii :
1) progresia aritmetică :
an = a1+(n-1)•r
an = (an-1+an+1)/2
a, b, c sunt în progresie aritmetică : b = (a+c)/2
a1+an = a2+an-1+an-2 = ... = ak+an-k+1 = constant.
S = a1+a2+..+an = (a1+an)•n/2 = [2a1+(n-1)•r]•n/2.
a1 = a1
a2 = a1+r
a3 = a2+r
a4 = a3+r
.
.
.
2) progresia geometrică :
bn = b1•q, q≠1.
b3 = b2•q
b4 = b3•q
.
.
.
bn = (bn-1)•q
a, b, c sunt în progresie geometrică : b = √a•c.
b1•bn = b2•(bn-1) = b3•(bn-2) = constant.
Sn = b1+b2+..+bn
Sn = b1(qⁿ-1)/(q-1).
• funcția de gradul I :
f : |R → |R
f(x) = ax+b.
ax+b = 0
ax = -b
x = -b/a → soluția funcției de gradul I
Gf n Ox = A(x;0).
Gf n Oy = B(0;y).
• funcția de gradul II :
f : |R → |R
f(x) = ax²+bx+c, a ≠ 0.
ax²+bx+c = 0 → ecuația de gradul II
∆ = b²-4ac → discriminantul funcției de gradul II
1) ∆ > 0 → ecuația are 2 soluții reale
x1,2 = (-b±√∆)/2a.
ax²+bx+c = a(x-x1)(x-x2).
2) ∆ = 0 → x1 = x2 → -b/2a.
ax²+bx+c = 0
a(x-x1)².
3) ∆ < 0 → x1,x2 nu aparțin mulțimii numerelor reale.
ax²+bx+c = a(x+b/2a)²+(-∆/4a). → forma canonică.
* Graficul funcției este o parabolă care are vârful V(-b/2a ; -∆/4a).
xv = -b/2a (abscisă)
yv = -∆/4a (ordonată)
I) a > 0 → vârful este punct de minim (convexă)
Min f(x) = yv = -∆/4a.
x € (-∞;-b/2a) → f(x) ↓
x € (-b/2a;+∞) → f(x) ↑
Im f(x) = (-∆/4a;+∞).
1) ∆ > 0 → Gf n Ox = A(x1;0) ; B(x2;0).
Gf n Oy = C(0;y).
2) ∆ = 0 → V(-b/2a;0)
3) ∆ < 0.
II) a < 0 → vârful este punct de maxim (concavă).
1) ∆ > 0
x € (-∞;-b/2a) → f(x) ↑
x € (-b/2a;+∞) → f(x) ↓
Im f(x) = (-∞;-∆/4a).
2) ∆ = 0 → V(-b/2a;0).
3) ∆ < 0.
• relațiile lui Vièté :
S = x1+x2 = -b/2a
P = x1•x2 = c/a.
ax²+bx+x /:a
x²+b/a•x+c/a = 0
x²-Sx+P = 0.
• vectorii :
1) regula ∆ :
AB (vector) + BC (vector) = AC (vector)
2) regula paralelogramului :
AB (vector) + AC (vector) = AD (vector)
AB (vector) - AC (vector) = CB (vector)
P(x;y) → OP = xi (vector) + yj (vector) → expresia analitică a vectorului de poziție a unui punct în plan.
|OP| (vector) = √x²+y².
M1(x1;y1)
M2(x2;y2)
M1M2 (vector) = (x2-x1)i (vector) + (y2-y1)j (vector)
|M1M2| = |M2M1|
|M1M2| = √(x2-x1)²+(y2-y1)².
fie : v1 = x1i (vector) + y1j (vector)
v2 = x2i (vector) + y2j (vector)
|v1| (vector) = √x1²+y1²
|v2| (vector) = √x2²+y2²
v1 ( vector) + v2 (vector) = (x1+x2)i (vector) + (y1+y2)j (vector)
v1(vector) • v2(vector) = |v1| (vector) • |v2| (vector)•cos a (a = alfa). = x1x2+y1y2.
a = (v1,v2).
cos a = [v1 (vector) • v2(vector)]/ |v1| (vector) • |v2| (vector) = (x1x2+y1y2)/√x1²+y1²•√x2²+y2².
v1 (vector) || v2 (vector) → coliniari <=> x1/x2 = y1/y2.
v1 (vector) perpendicular v2 (vector) <=> v1 (vector) • v2 (vector) = 0 <=> x1x2+y1y2 = 0.
M(x;y) mijl. [AB] <=> xM = (xA+xB)/2.
yM = (yA+yB)/2.
• cercul trigonometric :
π = 180° (π ≈ 3,1415..)
sin a (alfa) = cateta opusă/ipotenuză
cos a = cateta alăturată/ipotenuză
tg a = cateta opusă/cateta alăturată
ctg a = cateta alăturată/cateta opusă.
sin²x+cos²x = 1 → formula fundamentală a trifonometriei.
CI € (0;π/2) sin a >0 ; cos a > 0 ; tg a > 0 ; ctg a > 0.
CII € (π/2;π) sin a > 0 ; cos a < 0 ; tg a < 0 ; ctg a < 0.
CIII € (π/3π/2) sin a < 0 ; cos a < 0 ; tg a > 0 ; ctg > 0.
CIV € (3π/2;2π) sin a <0 ; cos a > 0 ; tg a < 0 ; ctg a < 0.
• (aici nu știu cum se numește exact lecția, scuze) :
sin (a+b) = sin a • cos b + sin b • cos a.
sin (a-b) = sin a • cos b - sin b • cos a.
cos (a+b) = cos a • cos b - sin a • sin b.
cos (a-b) = cos a • cos b + sin a • sin b.
tg (a+b) = (tg a+tg b)/(1-tg a•tg b).
tg (a-b) = (tg a -tg b)/(1+tg a •tg b).
ctg a = 1/tg a.
sin 2a = 2 sin a • cos a.
cos 2a = cos²a-sin²a = 2cos²a-1 = 1-2sin²a.
tg 2a = 2tg a/1-tg²a.
a → alfa
b → beta.
• transformarea sumelor în produs :
cos a + cos b = 2cos (a+b)/2•cos (a-b)/2.
coa a - cos b = -2sin (a+b)/2•sin (a-b)/2.
sin a + sin b = 2sin (a+b)/2•cos (a-b)/2.
sin a - sin b = 2sin (a-b)/2•cos (a+b)/2.
• transformarea produselor în sumă :
sin x • cos y = [sin(x+y)•sin(x-y)]/2.
cos x • cos y = [cos(x+y)•cos(x-y)]/2.
sin x • sin y = [cos(x-y)-cos(x+y)]/2.
Succes! :3
Multumesc mult!
Oricând! :)
Alte întrebări interesante
Limba română,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Geografie,
9 ani în urmă