Am nevoie doar de câteva explicații.
Anexe:
albatran:
deci pe rand, ca al moara a) infint 8infinuit=infinit
sorry, infinit * infinit=infinit
b) fie b=1/a limita devine x/b*b^ (x+1) =1 = l'hospital ptprima maperte 1/b*b*b^x=0; deci 0+1=1
c) care e cel mai tare, faciderivata, obtii a^(x+1) *(1+xlna)
a*9x+1) , poziotiva, iese f din discutie ...(1+xlna) se anuleaz la x= -1/lna
a^(x+1) , sorry , gresisem, la tastare..deci exponentuial, pozitiva pe R,. nu influenteaza semnul...revenimla (1+xlna) dac 0<a<1, atunci lna<0 si f' este pozitiva pan la anulare ,negativa dupa, deci are un maxim,deci sade dupa , nu ne interseaza
dac a.1, atunci functia f' este negativa inaintede anulare,si pozitiva dupa deci ma avea un minim ptx=-1/lna
acesta este cazul care ne intereseaza,punem conditia ca acest minim sa fie0, efectuam f(-1/lna) si rerzulta dupa calcule, a=e, care verifica si conditia e >1
nu am o demonstratie ca e si solutie unica, dar practic la un BAC dac nu stii deja ptroblema nici nu ai timp sa o faci complet, corect, riguros
ia de la Arurr explicatiile amanuntite ca sa "simti" percepi cum e cu limitele astea si, di cde am spus eu mai sus, formule de invatatpede rost pt punctele a) si b)..bafta!!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
2
a)
a aparține (1, +infinit)
Elementul care ridică semne de întrebare din funcție ar fi:
a la puterea (x+1).
Știm că dacă a-ul ar fi fost 1, aici am fi avut un caz de nedeterminare: 1 la infinit.
Doar că ipoteza spune clar că a>1. Așadar, oricât de mic ar fi a-ul, mai mare decât 1 (gen: 1,0000000....1) el, tot ridicat la putere - crește. Iar dacă e ridicat la putere la infinit, crește la infinit.
Un exemplu care dovedește asta:
Să presupunem că a ar fi: 1,0000001 (nu e teoretic perfect, însă demnostrează că la infinit, el tot crește):
1,0000001 la puterea 2 = 1,0000002
1,0000001 la puterea 20 = 1,000002
1,0000001 la puterea 1000 = 1.000100005
1,0000001 la puterea 10 000 000 = 2.71828169406
Așadar vedem că, cu cât creștem puterea mai tare, el tot mai tare crește. Așadar, Dacă puterea crește la infinit, atunci și numărul ridicat la putere crește la infinit, oricât va fi el de mic, dacă este strict mai mare decât 1.
b)
Aici avem cazul în care a < 1 și > 0.
Din nou, aplicăm un raționament similar:
un număr mai mic decât 1 înmulțit cu el însuși, va rezulta un număr mai mic tot timpul.
Exemple:
0,9 * 0,9 = 0,81
0,99 * 0,99 = 0,981
0,1 * 0,1 = 0,01
Deci oricât de mic sau de mare ar fi a, între 0 și 1, ridicat la a 2-a, sau mai mult, va fi tot timpul mai mic.
0,99 la puterea 2 = 0,981
0,99 la puterea 100 = 0.3660...
0,99 la puterea 1000 = 0.00004317124...
Deci, cu cât e mai mare puterea, cu atât mai tare scade numărul.
Așadar, un număr subunitar ridicat la puterea infinit va fi 0.
Ok, finalizând asta vedem că într-un final vom avea infinit * 0, deci caz de nedeterminare.
Așadar, să încercăm să rezolvăm cazul:
transformăm produsul acela în fracție, adică facem cu putere negativă și punem sub fracție (atașat IMG1).
De unde rezultă o fracție în care numitorul are putere negativă.
Acum avem așa:
Un x care tinde spre infinit
supra
Un a la -(x+1) care tinde la infinit, adică un a care tinde la -infinit. Dat fiind faptul că 0<a<1, va fi un număr subunitar care tinde la -infinit, iar un număr subunitar care tinde la -infinit e același lucru cu un număr supraunitar care tinde la infinit, adică rezultatul va fi infinit (IMT2):
Așadar, un nou caz de nedeterminare: infinit / infinit. Doar că ăsta e mai ușor de calculat:
la numărător avem un simplu x, la numitor avem o funcție exponențială, adică gradul de creștere jos este mai mare decât cel de sus, așadar, într-un final, limita chestiei care la început era produs, iar acum a devenit fracție este 0.
Adunând și acel 1 rămas în umră de la început, limita finală va fi 1.
Am centralizat puțin în IMG3.
c)
Cu cazuri văd că e foarte greu de calculat din cauza acelui +1 :)) Adică eu nu reușesc. Dar dacă nu o fi cum zice dl. Albatran, atunci ar fi mai multe cazuri din care rămâne valabil doar a = 0.
Nu știu cât de bine am explicat :))
a aparține (1, +infinit)
Elementul care ridică semne de întrebare din funcție ar fi:
a la puterea (x+1).
Știm că dacă a-ul ar fi fost 1, aici am fi avut un caz de nedeterminare: 1 la infinit.
Doar că ipoteza spune clar că a>1. Așadar, oricât de mic ar fi a-ul, mai mare decât 1 (gen: 1,0000000....1) el, tot ridicat la putere - crește. Iar dacă e ridicat la putere la infinit, crește la infinit.
Un exemplu care dovedește asta:
Să presupunem că a ar fi: 1,0000001 (nu e teoretic perfect, însă demnostrează că la infinit, el tot crește):
1,0000001 la puterea 2 = 1,0000002
1,0000001 la puterea 20 = 1,000002
1,0000001 la puterea 1000 = 1.000100005
1,0000001 la puterea 10 000 000 = 2.71828169406
Așadar vedem că, cu cât creștem puterea mai tare, el tot mai tare crește. Așadar, Dacă puterea crește la infinit, atunci și numărul ridicat la putere crește la infinit, oricât va fi el de mic, dacă este strict mai mare decât 1.
b)
Aici avem cazul în care a < 1 și > 0.
Din nou, aplicăm un raționament similar:
un număr mai mic decât 1 înmulțit cu el însuși, va rezulta un număr mai mic tot timpul.
Exemple:
0,9 * 0,9 = 0,81
0,99 * 0,99 = 0,981
0,1 * 0,1 = 0,01
Deci oricât de mic sau de mare ar fi a, între 0 și 1, ridicat la a 2-a, sau mai mult, va fi tot timpul mai mic.
0,99 la puterea 2 = 0,981
0,99 la puterea 100 = 0.3660...
0,99 la puterea 1000 = 0.00004317124...
Deci, cu cât e mai mare puterea, cu atât mai tare scade numărul.
Așadar, un număr subunitar ridicat la puterea infinit va fi 0.
Ok, finalizând asta vedem că într-un final vom avea infinit * 0, deci caz de nedeterminare.
Așadar, să încercăm să rezolvăm cazul:
transformăm produsul acela în fracție, adică facem cu putere negativă și punem sub fracție (atașat IMG1).
De unde rezultă o fracție în care numitorul are putere negativă.
Acum avem așa:
Un x care tinde spre infinit
supra
Un a la -(x+1) care tinde la infinit, adică un a care tinde la -infinit. Dat fiind faptul că 0<a<1, va fi un număr subunitar care tinde la -infinit, iar un număr subunitar care tinde la -infinit e același lucru cu un număr supraunitar care tinde la infinit, adică rezultatul va fi infinit (IMT2):
Așadar, un nou caz de nedeterminare: infinit / infinit. Doar că ăsta e mai ușor de calculat:
la numărător avem un simplu x, la numitor avem o funcție exponențială, adică gradul de creștere jos este mai mare decât cel de sus, așadar, într-un final, limita chestiei care la început era produs, iar acum a devenit fracție este 0.
Adunând și acel 1 rămas în umră de la început, limita finală va fi 1.
Am centralizat puțin în IMG3.
c)
Cu cazuri văd că e foarte greu de calculat din cauza acelui +1 :)) Adică eu nu reușesc. Dar dacă nu o fi cum zice dl. Albatran, atunci ar fi mai multe cazuri din care rămâne valabil doar a = 0.
Nu știu cât de bine am explicat :))
Anexe:
felicitari pt munca...mie mi-a iesit a=e ca verifica ecuatia de care vorbeam , dar nu am o demonstat ca aeste solutie unxca...cred ca ar merge ceva cu monotonia...oricum pct c)este pt "premianti" departajare intre 9,50 sio 10, sau, presupunand ca faci/fac/ face o partedin el, intre 9,80 si 10
Mulțumesc! Și mulțumesc și eu pentru explicațiile la c), nu m-aș fi descurcat cu cazurile :))
Alte întrebări interesante
Engleza,
8 ani în urmă
Geografie,
8 ani în urmă
Engleza,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă