Question

Am nevoie urgent !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Demonstrație prin inducție matematică:

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : \ {1}^{2} = \dfrac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{6}$

$1 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} \iff 1 = 1 \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată:

$P(n) : \ {1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {n}^{2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

şi se demonstrează că P(n+1) este adevărată:

$P(n+1) : \ {1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {n}^{2} + {(n + 1)}^{2} =$

$= \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + {(n + 1)}^{2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1) + 6{(n + 1)}^{2}}{6} \\ = \dfrac{(n + 1) [n(2n + 1) + 6(n + 1)] }{6} = \dfrac{(n + 1) (2 {n}^{2} + 7n + 6) }{6} \\ = \dfrac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6} = \dfrac{(n + 1) [(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1]}{6} \\ \implies P(n + 1) \ (A)$

P(n + 1) este adevărată => P(n) este adevărată ∀n ∈ ℕ*

q.e.d.