Am o curiozitate despre șirul lui Rolle... Sincer, nu cred că voi primi un răspuns, dar totuși încerc. Atunci când determini intervalele pe care se află soluțiile și să zicem că domeniul este R, de ce sunt intervale deschise și nu închise?
Răspunsuri la întrebare
Salut, este o intrebare destul de interesanta, o sa incerc sa raspund, insa nu am o anumita sursa online, raspunsul vine din propria mea intuitie.
Deci, teorema lui Rolle spune ca daca o functie este derivabila si continua pe (a,b), iar f(a) = f(b) atunci exista cel putin un c in intervalul (a,b) astfel incat f'(c) = 0. Sa incercam sa intelegem aceasta teorema, daca f(a) = f(b) atunci functia 'revine' la aceasi valoare, deci daca functia creste, la un moment ea va trebui sa descreasca astfel incat sa ajunga la punctul initial - si vice versa. Acum stim ca daca f'(X) > 0 atunci functia creste in acel punct, daca f'(X) < 0 aceasta descreste, iar daca f(X) = 0 atunci functia isi schimba monotonia in acest punct, adica din functie crescatoare se transforma in functie descreacatoare, si vice versa.
Intrebarea ta se refera la faptul ca c apartine intervalului (a,b) si de ce nu [a,b] - raspunsul e prea simplu - deoarece noi consideram functia pe intervalul (a,b) doar. Daca am considera functia pe intervalul [a,b] atunci si c ar apartine [a,b], un exemplu concret e f(X) = 4. iar a = 4 si b = 10, observi ca daca c = 4, f'(c) = 0.
Acum vreau sa-mi exprim opinia de ce nu consideram intervalul inchis. Raspunsul scurt este ca nu ne intereseaza. Daca f'(a) = 0 sau f'(b) = 0, atunci functia e o constanta si nu avem multe motive sa o analizam. Deci ne uitam la functii care isi schimba monotonia, in asa fel daca functia nu e constanta f'(a) e imposibil sa fie 0, la fel cu f'(b).
Sper ca am ajutat, scrie in comentarii daca doresti sa discutam in continuare!