Question

Am o ecuatie de rezolvat in Z
NU stiu daca am facut bine ma poate ajuta cineva sa continui?​

Answer 1

$x^{2} + {y}^{2} - 2x + y = 5$

Înmulțim ambele părți la 4.

$4 {x}^{2} + 4 {y}^{2} - 8x + 4y = 20 \\ \\ (2x - 2)^{2} + (2y + 1)^{2} - 5 = 20$

$(2x - 2)^{2} + (2y + 1)^{2} = 25$

Avem doar patru variante deoarece termenii sumei sunt pătrate perfecte.

1)16+9=25

2)9+16=25

3)0+25=25

4)25+0=25

1)a)2x-2=4

2x=6

x=3

b)2x-2=-4

2x=-2

x=-1

c)2y+1=3

2y=2

y=1

d)2y+1=-3

2y=-4

y=-2

De aici avem:

(x,y)={(3,1),(3,-2),(-1,1),(-1,-2)}.

Analizăm al doilea caz:

2)

$(2x - 2)^{2} = 9 \\ (2y + 1)^{2} = 16$

a)2x-2=3

2x=5

x nu aparține Z ( deci nu satisface condiția)

b)2x-2=-3

2x=-1

x nu aparține Z ( deci nu satisface condiția)

3)

a)2x-2=0

2x=2

x=1

b)2y+1=5

2y=4

y=2

c)2y+1=-5

2y=-6

y=-3

De aici avem 2 soluții:

(x,y)={(1,2),(1,-3)}

4)

a)2x-2=5

x nu aparține Z

b)2x-2=-5

x nu aparține Z

Deci soluția este:

(x,y)={(3,1),(3,-2),(-1,1),(-1,-2),(1,2),(1,-3)}

Answer 2

Răspuns:

S={(1;2) ;(1;-3) ;(3;1) (-1;1)}

Explicație pas cu pas:

x²+y²-2x+y=5

x²-2x+1 +y²+y=6

(x-1)²+y(y+1)=6

(x-1)²≥0 si y(y+1) produs de 2 nr consecutive

(x-1)²=6-y(y+1)

dac y si (y+1) au acelasi semn

avem solutiile

y=0,x∉Q

y=1...|x-1|=2 adica x=3 si x=-1

y=2...x-1=0...x=1

y≥3 , numai avem solutii, at reiesi (x-1)²<0

pt

x-1=0 ⇒ y(y+1) =6.....x=1 si y=2 pecare o mai gasisem si pornind de la y sau y=-3

y si y+1 nu pot avea semne diferite si sa fie ambele nenule asa fel incat -y(y+1) sa fie >0 deci nu cautam p.perfecte>6

0,1 si 4 sunt singurele p.p <6...dar 1 nu ne da solutii pt ca y(y+1) nu poate fi 5

deciS={(1;2) ;(1;-3) ;(3;1) (-1;1)}