Matematică, întrebare adresată de diaconumihay, 8 ani în urmă

Cum se calculeaza limita asta ?

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de c04f

Răspuns:

$\lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{1+1/n+1/n^2} }{2n}= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{1+1/n+1/n^2} }{2}=\frac{1}{2}$

Explicație pas cu pas:

Rayzen: Iar limita unui șir mereu se calculează prin valoarea maximă a parametrului, adică infinit.

Rayzen: Limita unui șir nu trebuie confundată cu valoarea maximă.
Limita unui șir înseamnă valoarea la care tinde șirul în cel mai îndepărtat punct.

albatran: "alex3583
De ce tinde la infinit ?" pt ca infinitul nu poate fi atins, se poate doar TINDE catre el.De aceea.

alex3583: Daca n era mai mic sau egal ca 1 tindea la minus infinit ?

Rayzen: Nu avea cum. Fiindcă un șir e format doar din n natural. Iar n ≥ 1 înseamnă că n aparține {1,2,3,4,5,...infinit}

Rayzen: unui șir îi corespund indici naturali, adică a_1, a_2, a_3,... etc

Rayzen: Dar poate să înceapă și de la a_0, depinde de exercițiu.

Rayzen: n nu poate fi negativ atât timp cat e natural.

alex3583: Am inteles

alex3583: Multumesc frumos !

Răspuns de Rayzen

$\Big(n+\dfrac{1}{2}\Big)^2 = n^2+n+\dfrac{1}{4} \\ \\ \sqrt{n^2+n+1}^2 = n^2+n+1 \\ \\ n^2+n+\dfrac{1}{4}\approx n^2+n+1,\quad \text{cand }n\to +\infty \\ \\ \Rightarrow n+\dfrac{1}{2}\,\to\text{ asimptota oblica spre }+\infty \text{ pentru }\sqrt{n^2+n+1}\\ \\\\ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}}{2n} =\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{n+\dfrac{1}{2}}{2n} =\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\Big(1+\dfrac{1}{2n}\Big)}{2n} =\\\\=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{2n}}2=\boxed{\dfrac{1}{2}}$