Question

Am si eu o mica dilema in legatura cu problema aceasta: 

Spunem ca multimea nevida M de cardinal n are proprietatea P daca elementele sale sunt numere naturale care au exact 4 divizori. Notam cu Sm suma tuturor celor 4n divizori ai elementelor lui M (suma poate contine termeni care se repeta).
a) Aratati ca A= { 2x37 , 19x37, 29x37} are proprietatea P si S indice A = 2014.
b) In cazul in care o multime B are proprietatea P si 8 ∈ B, demonstrati ca S indice B ≠ 2014.

Answer 1

a) Numerele care au exact 4 divizori sunt fie produs de doua numere prime, fie un numar prim la puterea a treia. Mulțimea A contine doar numere din prima categorie, deci are proprietatea P.
 $S_A=1+2+37+2\cdot37+1+19+37+19\cdot37+$

$+1+29+37+29\cdot37=2014$

b) $8=2^3$
Deci B  are celelalte elemente de forma:
         -  produs de doua numere prime, sau
         -  puterea a treia a unui numar prim impar (deoarece singurul numar par si prim este 2).
1. Suma divizorilor lui 8 este 15, deci număr impar.
2. Suma divizorilor unui număr care este produs de doua numere prime diferite  este numar par.
3. Suma divizorilor unui numar care este puterea a treia a unui numar prim impar este un numar par.
Din ultimele trei puncte de mai sus deducem ca suma divizorilor elementelor lui B este un numar impar, care evident ca nu poate fi 2014.