Question

Arată că dacă n aparține de N si |1-√2| + |√2-√3| + ... + |√n-√n+1|= 100 ,atunci n se divide cu 51​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1 \\ | \sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2} \\ .... \\ |\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}| = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

$|1 - \sqrt{2}| + | \sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - \sqrt{4}| + ... + |\sqrt{n - 1} - \sqrt{n}| + |\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}| = 100$

$\sout {\sqrt{2}} - 1 + \sout{\sqrt{3}} - \sout {\sqrt{2}} + \sout{\sqrt{4}} - \sout{\sqrt{3}} +...+ \sout{\sqrt{n}} - \sout{\sqrt{n - 1}} + \sqrt{n + 1} - \sout{\sqrt{n}} = 100$

$\sqrt{n + 1} - 1 = 100 \iff \sqrt{n + 1} = 101$

$n + 1 = {101}^{2} \iff n = {101}^{2} - {1}^{2}$

$n = (101 - 1)(101 + 1) \iff n = 100 \cdot 102 \\ \implies n = 100 \cdot 2 \cdot 51 \bf \ \vdots \ \ 51$

q.e.d.