Question

Aratati ca 1/1*2+1/2*3+...+1/2011*2012 < 1 . Va rog mult sa adaugati si formula cand rezolvati . Nu inteleg fara formula.

Answer 1

Formula care se aplica este:
$\frac{1}{k*(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
Aceasta se demonstreaza foarte usor aducand la acelasi numitor in membrul drept.
Aplicam aceasta formula succesiv pentru k=1,2,3,...,2011:
$\frac{1}{1*2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2*3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3*4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ ........................\\ \frac{1}{2010*2011}=\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\\ \frac{1}{2011*2012}=\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}$
Se aduna relatiile membru cu membru, in membru doi obtinem o suma telescopica, si avem in final ca:
S=1-1/2012<1, unde cu S am notat suma data. O suma telescopica este o suma in care doi termeni consecutivi se reduc reciproc astfel incat sa ramana in final doi termeni.

Answer 2

Formula pentru a rezolva acest exercitiu este 1/k·[k+1]=1/k-1/k+1;
1/1·2+1/2·3+...+1/2011·2012
[1/1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/2011-1/2012]⇒se reduce ce este comun;
⇒1/1-1/2012=1-1/2012;
⇒1-1.2012<1[deoarece 1=1 ,dar 1/2012<1 ,unde este folosit semnul plus nu minus];