Question

Aratati ca 

1/1^2 + 1/3^2 +1/5^2 + ..... + 1/2013^2 < 1,5

Answer 1

Observam pentru inceput ca $\dfrac{1}{(2k-1)^2}<\dfrac{1}{4k^2-4k}=\dfrac{1}{4k(k-1)}=\dfrac14\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)$
Notam suma din enunt cu S, si incepand cu al doilea termen din S, îi înlocuim pe toţi folosind inegalitatea de mai sus. Obtinem:
S<1+1/4·(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/1005-1/1006)=
=1+1/4(1-1/1006)=1+1/4·1005/1006<1+1/4=1,25<1,5