Question

Aratati ca 1+3+5+...+2002 este patrat perfect

Answer 1

NR. IMPARE
ex. 1+ 3+ 5+ 7+ ...+ 2 011=
      
p₁: Se scrie fiecare termen ca o sumă de doi termeni dintre care unul este 1.
1+(1+1)+(1+2)+(1+3)+....+(1+ 2 010)=

p₂: Se separă suma în două sume: una formată din termeni în care se repetă 1, iar cealaltă formată din termeni pari din 2 în 2.
(1+ 1+ 1+ 1+ ...+1)+(2+ +4+ 6+ ...+ 2 010)=

p₃: Se trransformă suma de termeni egali într-o înmulţire, iar la cea de nr. par, fiecare nr. se scrie ca unprodos de doi factori dintre care unul este 2.
1·1 006+2· 1+2· 2+2·3+ ...+2·1 005=  

OBSERVAŢIE: de la 1 la 2 000=2 000 nr. ,1 000= nr. pare
                                                                1 000= nr. impare
                               de la 1 la 11= 11 nr.  ,    5 =nr. pare
                                                                    6= nr. impare 
Din acest motiv 1 se repetă de 1 006 de ori.

p₄: Se dă factor comun pe 2.
 1 006+2·(1+ 2+ 3+ ...+ 1 005)=

p₅:Se aplică suma Gauss din 1 în 1.
1  006+2·1 005·1 006:2=

p₆: Se rezolvă.
1 006+1 005·1 006=
1 006·1+1 005·1 006=
1 006( 1+ 1 005)=
1 006 ·1 006
1 006²  = pp