Question

Aratati ca 1 supra 1•2 plus 1 supra 2•3 plus.... plus 1 supra 2011•2012 este <1. Va rog ajutati ma

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Avem suma:

S=1/(1•2)+1/(2•3)+...+1/(2012•2013)

Știm că:

1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

Aplicam aceasta formula sumei S și obținem o sumă telescopica.

S=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2012-1/2013

Observăm că termenii se reduc doi câte doi și vor rămâne primul și ultimul termen. Deci:

S=1-1/2013

Aducem la același numitor și avem:

S=(2013-1)/2013=2012/2013

Cum fracția 2012/2013 este subunitara (numărătorul este mai mic decât numitorul), 2012/2013<1, adică S<1.